Nos itens a seguir, calcule a derivada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada em relação a
da função definida por
Informações dadas:
- O integrando é
. - O limite inferior da integral é a constante
. - O limite superior da integral é a função
.
A tarefa: encontrar.
Passo 2
Lembrete teórico (fórmula que vou usar) — Regra fundamental do cálculo com limite superior variável e regra da cadeia: se
é contínua numa vizinhança do ponto
e
é diferenciável, então
Explicação informal: a derivada mede como a área acumulada muda quando o ponto final da integral se movimenta. Se o limite final muda por uma pequena variação
, a variação da integral é aproximadamente
, e
, daí o produto.
Passo 3
Identifico as partes da fórmula no nosso caso:
-
. -
. -
, porque a derivada de é .
Passo 4
Aplico a fórmula direta:
Passo 5
Simplifico a expressão usando a identidade trigonométrica
:
Portanto a expressão simplifica para
.
Passo 6
Observação sobre domínio: a forma final
só está definida quando
. Então a derivada existe e vale
nos pontos em que
. (Isto é natural também porque na simplificação dividimos por
.)
Passo 7
Resumo intuitivo rápido: o procedimento foi tirar a integranda avaliada no limite variável
e multiplicar pela derivada desse limite (
), e em seguida simplificar com a identidade trigonométrica para obter
. Força aí — esse padrão aparece sempre que o limite da integral é uma função de
.