Nos itens a seguir, calcule a derivada.
\frac{d}{d x}\left(\int_{3}^{\operatorname{sen} x} \frac{1}{1-t^{2}} d t\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada em relação a x da função definida por
F(x)=\int_{3}^{\operatorname{sen} x}\frac{1}{1-t^{2}}\,dt.
Informações dadas:
  • O integrando é \dfrac{1}{1-t^{2}}.
  • O limite inferior da integral é a constante 3.
  • O limite superior da integral é a função \operatorname{sen} x.
    A tarefa: encontrar \dfrac{d}{dx}F(x).

Passo 2

Lembrete teórico (fórmula que vou usar) — Regra fundamental do cálculo com limite superior variável e regra da cadeia: se f é contínua numa vizinhança do ponto g(x) e g é diferenciável, então
\frac{d}{dx}\left(\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt\right)=f\big(g(x)\big)\,g'(x).
Explicação informal: a derivada mede como a área acumulada muda quando o ponto final da integral se movimenta. Se o limite final muda por uma pequena variação \Delta x, a variação da integral é aproximadamente f(g(x))\cdot\Delta g, e \Delta g\approx g'(x)\Delta x, daí o produto.

Passo 3

Identifico as partes da fórmula no nosso caso:
  • f(t)=\dfrac{1}{1-t^{2}}.
  • g(x)=\operatorname{sen} x.
  • g'(x)=\cos x, porque a derivada de \operatorname{sen} x é \cos x.

Passo 4

Aplico a fórmula direta:
\frac{d}{dx}\left(\int_{3}^{\operatorname{sen} x}\frac{1}{1-t^{2}}\,dt\right) =\frac{1}{1-(\operatorname{sen} x)^{2}}\cdot\cos x.

Passo 5

Simplifico a expressão usando a identidade trigonométrica \,1-(\operatorname{sen} x)^{2}=(\cos x)^{2}\,:
\frac{\cos x}{1-(\operatorname{sen} x)^{2}}=\frac{\cos x}{(\cos x)^{2} }=\frac{1}{\cos x}.
Portanto a expressão simplifica para \dfrac{1}{\cos x}.

Passo 6

Observação sobre domínio: a forma final \dfrac{1}{\cos x} só está definida quando \cos x\neq 0. Então a derivada existe e vale \dfrac{1}{\cos x} nos pontos em que \cos x\neq 0. (Isto é natural também porque na simplificação dividimos por \cos x.)

Passo 7

Resumo intuitivo rápido: o procedimento foi tirar a integranda avaliada no limite variável \operatorname{sen} x e multiplicar pela derivada desse limite ( \cos x), e em seguida simplificar com a identidade trigonométrica para obter \dfrac{1}{\cos x}. Força aí — esse padrão aparece sempre que o limite da integral é uma função de x.

Resposta

\dfrac{1}{\cos x}

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