Nos itens a seguir, derive a função dada e simplifique o resultado.
f(x)=\ln (\cos \sqrt{x})

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=\ln\big(\cos\sqrt{x}\,\big)\, e pede para derivá-la e simplificar o resultado.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função é a composição de três partes: o logaritmo natural \ln(\cdot), a função cosseno \cos(\cdot) e a raiz quadrada \sqrt{x}.
  • A raiz quadrada requer x\ge0 para estar definida em reais.
  • Para que f(x) esteja definida também é preciso que \cos\sqrt{x}>0 (para o argumento do \ln ser positivo).
    O objetivo é encontrar f'(x) (a derivada) e apresentar o resultado simplificado.

Passo 2

Vamos lembrar a regra prática que vamos usar (a chamada regra da cadeia, explicada de leve): se f(x)=\ln(u(x)) com u(x)>0, então a derivada é
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Por que isso é verdade? Porque a derivada de \ln t em relação a t é 1/t. Quando t depende de x, por cadeia multiplicamos por dt/dx. Ou seja, \dfrac{d}{dx}\ln(u(x))=\dfrac{1}{u(x)}\cdot u'(x). Isso é a base do que vamos aplicar aqui.

Passo 3

Identificamos a função interna:
u(x)=\cos\big(\sqrt{x}\big).
Pelo passo anterior, f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}. Então precisamos calcular u'(x).

Passo 4

Para obter u'(x) usamos novamente a regra da cadeia: u(x)=\cos(v(x)) com v(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}. A derivada da função cosseno é
\frac{d}{dv}\cos v = -\sin v,
então, pela cadeia,
u'(x)=\big(-\sin(v(x))\big)\cdot v'(x) = -\sin\big(\sqrt{x}\big)\cdot v'(x).

Passo 5

Agora calculamos v'(x). Como v(x)=x^{1/2}, usamos a regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{a}=a x^{a-1}. Aqui a=\tfrac12, logo
v'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\quad\text{(para \(x>0\)).}
Substituindo em u'(x) obtemos
u'(x)=-\sin\big(\sqrt{x}\big)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 6

Voltando para f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}, substituindo u'(x) e u(x) temos
f'(x)=\frac{-\sin\big(\sqrt{x}\big)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\cos\big(\sqrt{x}\big)} = -\frac{\sin\big(\sqrt{x}\big)}{2\sqrt{x}\,\cos\big(\sqrt{x}\big)}.
Este é o formulário imediato da derivada (ainda não expresso usando a função tangente).
Observação sobre o ponto x=0: a expressão intermediária acima usa \dfrac{1}{2\sqrt{x}}, que não está definida em x=0. No entanto, f está definida em x=0 (pois \cos\sqrt{0}=\cos 0=1 e \ln 1=0). Para saber se f é diferenciável em 0 calcula-se o limite
\lim_{x\to0}\left(-\frac{\sin\big(\sqrt{x}\big)}{2\sqrt{x}\,\cos\big(\sqrt{x}\big)}\right).
Como \sin t\sim t e \cos t\to1 quando t\to0 (aqui t=\sqrt{x}), esse limite vale -\dfrac{1}{2}. Portanto a derivada existe em 0 e vale -\tfrac{1}{2}, se for necessário o valor em x=0. Para x>0 a fórmula abaixo é válida diretamente.

Passo 7

Explicação final de simplificação: note que \dfrac{\sin(\sqrt{x})}{\cos(\sqrt{x})}=\tan(\sqrt{x}). Aplicando isso à expressão do passo anterior obtemos a forma mais compacta e frequentemente preferida para a derivada. Seja atento ao domínio: a forma compacta é válida onde \sqrt{x} não faz \cos(\sqrt{x})=0 (pois aí haveria divisão por zero).

Resposta

-\dfrac{\tan\big(\sqrt{x}\big)}{2\sqrt{x}}

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