Nos itens a seguir, derive a função dada e simplifique o resultado.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para derivá-la e simplificar o resultado.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A função é a composição de três partes: o logaritmo natural
, a função cosseno e a raiz quadrada . - A raiz quadrada requer
para estar definida em reais. - Para que
esteja definida também é preciso que (para o argumento do ser positivo).
O objetivo é encontrar(a derivada) e apresentar o resultado simplificado.
Passo 2
Vamos lembrar a regra prática que vamos usar (a chamada regra da cadeia, explicada de leve): se
com
, então a derivada é
Por que isso é verdade? Porque a derivada de
em relação a
é
. Quando
depende de
, por cadeia multiplicamos por
. Ou seja,
. Isso é a base do que vamos aplicar aqui.
Passo 3
Identificamos a função interna:
Pelo passo anterior,
. Então precisamos calcular
.
Passo 4
Para obter
usamos novamente a regra da cadeia:
com
. A derivada da função cosseno é
então, pela cadeia,
Passo 5
Agora calculamos
. Como
, usamos a regra do poder:
. Aqui
, logo
Substituindo em
obtemos
Passo 6
Voltando para
, substituindo
e
temos
Este é o formulário imediato da derivada (ainda não expresso usando a função tangente).
Observação sobre o ponto
: a expressão intermediária acima usa
, que não está definida em
. No entanto,
está definida em
(pois
e
). Para saber se
é diferenciável em
calcula-se o limite
Como
e
quando
(aqui
), esse limite vale
. Portanto a derivada existe em
e vale
, se for necessário o valor em
. Para
a fórmula abaixo é válida diretamente.
Passo 7
Explicação final de simplificação: note que
. Aplicando isso à expressão do passo anterior obtemos a forma mais compacta e frequentemente preferida para a derivada. Seja atento ao domínio: a forma compacta é válida onde
não faz
(pois aí haveria divisão por zero).