Nos itens a seguir, efetue a antidiferenciação.
\int 7 x^{3} \sqrt{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada (primitiva) da função dada. Informação fornecida:
  • Integrando: \;7 x^{3} \sqrt{x}.
  • Operação solicitada: \displaystyle \int 7 x^{3} \sqrt{x}\, dx.

Passo 2

Primeiro simplificar a expressão usando potências: a raiz quadrada é potência de expoente \tfrac{1}{2}. Assim,
\sqrt{x}=x^{\tfrac{1}{2}},
portanto o integrando fica
7 x^{3}\sqrt{x}=7 x^{3}x^{\tfrac{1}{2}}=7 x^{3+\tfrac{1}{2}}=7 x^{\tfrac{7}{2}}.

Passo 3

Lembra da regra básica de integração (regra da potência): para qualquer expoente \,n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Essa fórmula vem do fato de que, ao derivar \dfrac{x^{n+1}}{n+1}, obtém-se x^n (porque a derivada de x^{n+1} é (n+1)x^{n}, que cancela o denominador).

Passo 4

Aplicar a regra da potência ao nosso integrando \;7 x^{\tfrac{7}{2}}. Como a constante 7 pode sair da integral,
\int 7 x^{\tfrac{7}{2}}\,dx = 7 \int x^{\tfrac{7}{2}}\,dx.
Agora use a fórmula com n=\tfrac{7}{2}. Calcula-se n+1=\tfrac{7}{2}+1=\tfrac{9}{2}. Então
7 \int x^{\tfrac{7}{2}}\,dx = 7\cdot\frac{x^{\tfrac{9}{2}}}{\tfrac{9}{2}} + C.

Passo 5

Simplificar o coeficiente: dividir por \tfrac{9}{2} é multiplicar por \tfrac{2}{9}. Logo
7\cdot\frac{1}{\tfrac{9}{2}} = 7\cdot\frac{2}{9}=\frac{14}{9}.
Portanto a primitiva é
\frac{14}{9}x^{\tfrac{9}{2}}+C.

Passo 6

Dar uma forma equivalente em radical, caso prefira: \;x^{\tfrac{9}{2}}=x^{4}\,x^{\tfrac{1}{2}}=x^{4}\sqrt{x}. Assim outra escrita equivalente é
\frac{14}{9}x^{4}\sqrt{x}+C.

Passo 7

Verificação rápida (checagem que serve na prova): derivando \dfrac{14}{9}x^{\tfrac{9}{2}} obtém-se
\frac{14}{9}\cdot\frac{9}{2}x^{\tfrac{7}{2}}=7x^{\tfrac{7}{2}}=7x^{3}\sqrt{x},
que é exatamente o integrando. Portanto a antiderivada está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{14}{9}x^{\tfrac{9}{2}}+C

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