Nos itens a seguir, efetue a antidiferenciação.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a antiderivada (primitiva) da função que aparece dentro da integral. Dados fornecidos:
- A integral a ser calculada é
. - Não há limites de integração; portanto a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
O que queremos obter: uma função
tal que
. Vou usar um método simples e direto que funciona bem para polinômios: primeiro simplificar o integrando multiplicando os termos, depois integrar termo a termo usando a regra de potência para integrais. Também mostrarei rapidamente um método alternativo (substituição) para reforçar o entendimento.
Passo 3
Multiplicando o fator
pelos termos dentro do parêntese para transformar o integrando em soma de potências de
. Efetuando a multiplicação:
Passo 4
Usando a linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais e constantes saem da integral), escrevemos:
Passo 5
Regra que vamos usar agora (regra de potência para integrais): para todo
,
Aqui
é a variável de integração,
é o expoente, e
é a constante de integração. Essa fórmula vem do fato de que, ao derivar
, obtém-se
.
Passo 6
Integrando o primeiro termo
. A constante
pode sair da integral:
Passo 7
Integrando o segundo termo
. A constante
sai da integral:
Como no passo 4 temos um sinal negativo antes desta integral, o termo resultante será
.
Passo 8
Somando os resultados e incluindo a constante de integração
, obtemos a primitiva:
Passo 9
(Método alternativo — substituição, para reforçar) Podemos também ver
e fazer
. Então
ou
. Substituindo:
Integrando em
:
voltando a
por
:
que coincide com o resultado obtido antes.