Nos itens a seguir, efetue a antidiferenciação.
\int y^{3}\left(2 y^{2}-3\right) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada (primitiva) da função que aparece dentro da integral. Dados fornecidos:
  • A integral a ser calculada é \displaystyle \int y^{3}\left(2 y^{2}-3\right)\,d y.
  • Não há limites de integração; portanto a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

O que queremos obter: uma função F(y) tal que F'(y)=y^{3}\left(2 y^{2}-3\right). Vou usar um método simples e direto que funciona bem para polinômios: primeiro simplificar o integrando multiplicando os termos, depois integrar termo a termo usando a regra de potência para integrais. Também mostrarei rapidamente um método alternativo (substituição) para reforçar o entendimento.

Passo 3

Multiplicando o fator y^{3} pelos termos dentro do parêntese para transformar o integrando em soma de potências de y. Efetuando a multiplicação:
y^{3}\left(2 y^{2}-3\right)=2y^{5}-3y^{3}.

Passo 4

Usando a linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais e constantes saem da integral), escrevemos:
\int y^{3}\left(2 y^{2}-3\right)\,dy=\int\left(2y^{5}-3y^{3}\right)\,dy =\int 2y^{5}\,dy-\int 3y^{3}\,dy.

Passo 5

Regra que vamos usar agora (regra de potência para integrais): para todo n\neq -1,
\int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui y é a variável de integração, n é o expoente, e C é a constante de integração. Essa fórmula vem do fato de que, ao derivar \dfrac{y^{n+1}}{n+1}, obtém-se y^{n}.

Passo 6

Integrando o primeiro termo \int 2y^{5}\,dy. A constante 2 pode sair da integral:
\int 2y^{5}\,dy=2\int y^{5}\,dy =2\cdot\frac{y^{6}}{6} =\frac{2}{6}y^{6} =\frac{y^{6}}{3}.

Passo 7

Integrando o segundo termo \int 3y^{3}\,dy. A constante 3 sai da integral:
\int 3y^{3}\,dy=3\int y^{3}\,dy =3\cdot\frac{y^{4}}{4} =\frac{3y^{4}}{4}.
Como no passo 4 temos um sinal negativo antes desta integral, o termo resultante será -\dfrac{3y^{4}}{4}.

Passo 8

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva:
F(y)=\frac{y^{6}}{3}-\frac{3y^{4}}{4}+C.

Passo 9

(Método alternativo — substituição, para reforçar) Podemos também ver y^{3}\left(2y^{2}-3\right)=y^{2}\cdot y\cdot(2y^{2}-3) e fazer u=y^{2}. Então du=2y\,dy ou y\,dy=\dfrac{du}{2}. Substituindo:
\int y^{3}(2y^{2}-3)\,dy=\int u(2u-3)\cdot\frac{du}{2} =\frac{1}{2}\int(2u^{2}-3u)\,du =\int(u^{2}-\tfrac{3}{2}u)\,du.
Integrando em u:
\frac{u^{3}}{3}-\frac{3u^{2}}{4}+C,
voltando a y por u=y^{2}:
\frac{y^{6}}{3}-\frac{3y^{4}}{4}+C,
que coincide com o resultado obtido antes.

Resposta

\dfrac{y^{6}}{3}-\dfrac{3y^{4}}{4}+C

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