Nos itens a seguir, efetue a antidiferenciação.
\int\left(3-2 t+t^{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada (integral indefinida) da função dada. O que está fornecido é a integral
\int\left(3-2 t+t^{2}\right)\,dt.
Portanto a tarefa é encontrar uma função F(t) tal que F'(t)=3-2t+t^{2}, e apresentar a resposta com a constante de integração.

Passo 2

Vamos usar duas propriedades básicas de integrais (explicando devagarzinho):
  • Linearidade (soma): para quaisquer funções f e g,
\int\big(f(t)+g(t)\big)\,dt=\int f(t)\,dt+\int g(t)\,dt.
  • Constante fora da integral: para constante a,
\int a\cdot f(t)\,dt = a\int f(t)\,dt.
Essas propriedades permitem separar a integral em termos mais simples que sabemos integrar.

Passo 3

Aplicando a linearidade ao integrando, escrevemos a integral como soma de três integrais:
\int\left(3-2 t+t^{2}\right)\,dt=\int 3\,dt -2\int t\,dt + \int t^{2}\,dt.
Aqui foi usado que a constante -2 pode sair da integral do termo -2t.

Passo 4

Usamos agora a regra de potência para antiderivadas (regra fundamental aqui). Para qualquer expoente n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C,
onde n é o expoente de t e C é a constante de integração. Além disso, para a função constante \,1, vale \int 1\,dt=t+C.

Passo 5

Aplicando a regra aos três termos:
  • Para \int 3\,dt: tratar como 3\int 1\,dt, então
\int 3\,dt=3t.
  • Para \int t\,dt: aqui n=1, então
\int t\,dt=\frac{t^{2}}{2}.
Multiplicando pela constante -2 obtemos -2\cdot\frac{t^{2}}{2}=-t^{2}.
  • Para \int t^{2}\,dt: aqui n=2, então
\int t^{2}\,dt=\frac{t^{3}}{3}.
Somando tudo e incluindo a constante de integração C,
\int\left(3-2 t+t^{2}\right)\,dt=3t - t^{2} + \frac{t^{3}}{3} + C.

Passo 6

Cheque rápido (para ter segurança): derivando o resultado deve-se voltar ao integrando. Calculando
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{t^{3}}{3}-t^{2}+3t+C\right)=t^{2}-2t+3,
que é exatamente 3-2t+t^{2}. Então está correto. Boa — você viu o ciclo integral ⇄ derivada funcionando.

Resposta

\displaystyle \frac{t^{3}}{3}-t^{2}+3t+C

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