Nos itens a seguir, efetue a antidiferenciação.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a antiderivada (integral indefinida) da função dada. O que está fornecido é a integral
Portanto a tarefa é encontrar uma função
tal que
, e apresentar a resposta com a constante de integração.
Passo 2
Vamos usar duas propriedades básicas de integrais (explicando devagarzinho):
- Linearidade (soma): para quaisquer funções
e ,
- Constante fora da integral: para constante
,
Essas propriedades permitem separar a integral em termos mais simples que sabemos integrar.
Passo 3
Aplicando a linearidade ao integrando, escrevemos a integral como soma de três integrais:
Aqui foi usado que a constante
pode sair da integral do termo
.
Passo 4
Usamos agora a regra de potência para antiderivadas (regra fundamental aqui). Para qualquer expoente
,
onde
é o expoente de
e
é a constante de integração. Além disso, para a função constante
, vale
.
Passo 5
Aplicando a regra aos três termos:
- Para
: tratar como , então
- Para
: aqui , então
Multiplicando pela constante
obtemos
.
- Para
: aqui , então
Somando tudo e incluindo a constante de integração
,
Passo 6
Cheque rápido (para ter segurança): derivando o resultado deve-se voltar ao integrando. Calculando
que é exatamente
. Então está correto. Boa — você viu o ciclo integral ⇄ derivada funcionando.