Nos itens a seguir, efetue a antidiferenciação.
Passo 1
O enunciado pede a antidiferenciação (integral indefinida) da função dada. Informações fornecidas:
- A integral a calcular é
. - Não há limites de integração, portanto devemos adicionar uma constante de integração
.
As perguntas implícitas: encontrar uma primitiva da função.
Passo 2
Reescrever a integranda em potências de
torna a aplicação da regra de potência direta. Usando as identidades:
portanto a integral fica
Passo 3
Apresentar a regra que vamos usar (regra da potência para antiderivação):
Explicando:
é o expoente da potência; ao integrar aumentamos o expoente em
e dividimos pelo novo expoente. A condição
aparece porque para
a função é
e sua primitiva é o logaritmo, não a fórmula acima.
Passo 4
Aplicar a regra termo a termo na integral
Para
:
Para
:
Passo 5
Simplificar as divisões por frações: dividir por
é multiplicar por
; dividir por
é multiplicar por
. Então
Portanto a primitiva é
Passo 6
Opcional: escrever em termos de raízes para ficar mais familiar:
Pode também fatorar
:
Passo 7
Verificação rápida (derivando a primitiva encontrata volta-se à integranda):
somando dá
, que é a integranda original.