Nos itens a seguir, efetue a antidiferenciação.
\int\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a antidiferenciação (integral indefinida) da função dada. Informações fornecidas:
  • A integral a calcular é \displaystyle \int\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx.
  • Não há limites de integração, portanto devemos adicionar uma constante de integração \displaystyle C.
    As perguntas implícitas: encontrar uma primitiva da função \displaystyle \sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}.

Passo 2

Reescrever a integranda em potências de x torna a aplicação da regra de potência direta. Usando as identidades:
\sqrt{x} = x^{1/2}, \qquad \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2},
portanto a integral fica
\int\left(x^{1/2}-x^{-1/2}\right)\,dx.

Passo 3

Apresentar a regra que vamos usar (regra da potência para antiderivação):
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad \text{para } n\neq -1.
Explicando: n é o expoente da potência; ao integrar aumentamos o expoente em 1 e dividimos pelo novo expoente. A condição n\neq -1 aparece porque para n=-1 a função é x^{-1}=1/x e sua primitiva é o logaritmo, não a fórmula acima.

Passo 4

Aplicar a regra termo a termo na integral
\int x^{1/2}\,dx - \int x^{-1/2}\,dx.
Para n=1/2:
\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2}.
Para n=-1/2:
\int x^{-1/2}\,dx = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{x^{1/2}}{1/2}.

Passo 5

Simplificar as divisões por frações: dividir por 3/2 é multiplicar por 2/3; dividir por 1/2 é multiplicar por 2. Então
\frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}, \qquad \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{1/2}.
Portanto a primitiva é
\frac{2}{3}x^{3/2}-2x^{1/2}+C.

Passo 6

Opcional: escrever em termos de raízes para ficar mais familiar:
\frac{2}{3}x^{3/2}-2x^{1/2}+C = \frac{2}{3}x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+C.
Pode também fatorar \sqrt{x}:
\sqrt{x}\!\left(\frac{2}{3}x-2\right)+C.

Passo 7

Verificação rápida (derivando a primitiva encontrata volta-se à integranda):
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}=x^{1/2}, \qquad \frac{d}{dx}\!\left(-2x^{1/2}\right)=-2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=-x^{-1/2},
somando dá x^{1/2}-x^{-1/2}=\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}, que é a integranda original.

Resposta

\dfrac{2}{3}x^{3/2}-2x^{1/2}+C

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