Nos itens a seguir, efetue a antidiferenciação.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a antiderivada (primitiva) da função dada. Ou seja, encontrar uma função
tal que
seja o integrando. O que temos:
- Integral a calcular:
. - Informações relevantes: o integrando é um polinômio formado por quatro termos separados:
, , e .
O objetivo final é escrever a primitiva geral (com a constante de integração).
Passo 2
Regra útil 1 — linearidade da integral. Isso diz que a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Em fórmulas:
onde
e
são constantes. Aqui isso permite tratar cada termo do polinômio separadamente.
Passo 3
Regra útil 2 — regra do poder (power rule) para antiderivadas. Para qualquer inteiro
com
,
onde
é a constante de integração. Explicando: ao integrar
aumenta-se o expoente em
e divide-se pelo novo expoente. Exemplo simples:
.
Passo 4
Aplicando a linearidade e a regra do poder termo a termo.
- Para
: fatoramos a constante e aplicamos a regra do poder com :
- Para
: fatoramos e aplicamos com :
- Para
: aqui :
- Para
: a integral de uma constante é :
Cada uma dessas expressões é uma primitiva do respectivo termo.
Passo 5
Como a primitiva da soma é a soma das primitivas, a primitiva geral da função é a soma das primitivas obtidas para cada termo, acrescida da constante de integração
. Para confirmar que o procedimento está correto podemos verificar derivando cada termo obtido: a derivada de
é
, de
é
, de
é
e de
é
. Somando essas derivadas obtemos exatamente o integrando inicial, o que confirma a primitiva.