Nos itens a seguir, efetue a antidiferenciação.
\int\left(4 x^{3}-3 x^{2}+6 x-1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada (primitiva) da função dada. Ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x) seja o integrando. O que temos:
  • Integral a calcular: \displaystyle \int\!\left(4 x^{3}-3 x^{2}+6 x-1\right)\,dx.
  • Informações relevantes: o integrando é um polinômio formado por quatro termos separados: 4x^{3}, -3x^{2}, 6x e -1.
    O objetivo final é escrever a primitiva geral (com a constante de integração).

Passo 2

Regra útil 1 — linearidade da integral. Isso diz que a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Em fórmulas:
\int\!\big(a f(x)+b g(x)\big)\,dx = a\int\!f(x)\,dx + b\int\!g(x)\,dx,
onde a e b são constantes. Aqui isso permite tratar cada termo do polinômio separadamente.

Passo 3

Regra útil 2 — regra do poder (power rule) para antiderivadas. Para qualquer inteiro n com n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Explicando: ao integrar x^{n} aumenta-se o expoente em 1 e divide-se pelo novo expoente. Exemplo simples: \int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}+C.

Passo 4

Aplicando a linearidade e a regra do poder termo a termo.
  • Para \displaystyle \int 4x^{3}\,dx: fatoramos a constante 4 e aplicamos a regra do poder com n=3:
\int 4x^{3}\,dx = 4\int x^{3}\,dx = 4\cdot\frac{x^{4}}{4} = x^{4}.
  • Para \displaystyle \int -3x^{2}\,dx: fatoramos -3 e aplicamos com n=2:
\int -3x^{2}\,dx = -3\int x^{2}\,dx = -3\cdot\frac{x^{3}}{3} = -x^{3}.
  • Para \displaystyle \int 6x\,dx: aqui n=1:
\int 6x\,dx = 6\int x\,dx = 6\cdot\frac{x^{2}}{2} = 3x^{2}.
  • Para \displaystyle \int (-1)\,dx: a integral de uma constante a é ax:
\int -1\,dx = -x.
Cada uma dessas expressões é uma primitiva do respectivo termo.

Passo 5

Como a primitiva da soma é a soma das primitivas, a primitiva geral da função é a soma das primitivas obtidas para cada termo, acrescida da constante de integração C. Para confirmar que o procedimento está correto podemos verificar derivando cada termo obtido: a derivada de x^{4} é 4x^{3}, de -x^{3} é -3x^{2}, de 3x^{2} é 6x e de -x é -1. Somando essas derivadas obtemos exatamente o integrando inicial, o que confirma a primitiva.

Resposta

x^{4}-x^{3}+3x^{2}-x+C

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