Nos itens a seguir encontre a derivada das funções:
h(x)=\left(\frac{\cos (x)}{e^{x}}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
h(x)=\Bigl(\frac{\cos(x)}{e^{x}}\Bigr)^{2}.
Aqui vamos precisar usar as regras de potência composta (chain rule), exponencial e produto (caso reescrevamos a função como produto).

Passo 2

Reescrevemos h(x) de modo a facilitar a diferenciação:
h(x)=\Bigl(\cos(x)\,e^{-x}\Bigr)^{2} =\cos^{2}(x)\;e^{-2x}.

Passo 3

Definimos
f(x)=\cos^{2}(x) \quad\text{e}\quad g(x)=e^{-2x},
então h(x)=f(x)\,g(x). Calculamos as derivadas:
f'(x)=2\cos(x)\,\bigl(-\sin(x)\bigr)=-2\cos(x)\sin(x),
g'(x)=-2\,e^{-2x}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto,
h'(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x) =-2\cos(x)\sin(x)\,e^{-2x} +\cos^{2}(x)\,(-2\,e^{-2x}).
Fatorando -2e^{-2x}, obtemos
h'(x)=-2e^{-2x}\bigl[\cos(x)\sin(x)+\cos^{2}(x)\bigr].

Resposta

h'(x)=-2e^{-2x}\bigl(\cos(x)\sin(x)+\cos^{2}(x)\bigr).

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