Nos itens a seguir, esboce a região limitada pelas curvas dadas e encontre sua área por meio de uma integral dupla.
y=raizx, y=-x, x=1, x=4

Passo 1

O enunciado pede pra esboçar a região limitada pelas curvas y=raizx, y=-x, x=1 e x=4 e calcular a área usando integral dupla. O conteúdo aqui é cálculo de área via integrais duplas: a área de uma região R é dada por integral duplaR 1,dA. Vamos precisar expressar R em termos de variáveis x e y e integrar.

Passo 2

Para entender a região R, determinamos como as curvas se cruzam e quais são os limites em x. Resolvendo raizx=-x só encontramos x=0, mas nossos limites verticais são x=1 a x=4. Nesse intervalo, raizx>=0 e -x<=-1, então y=-x fica abaixo de y=raizx.
Com isso, podemos montar a integral dupla em ordens dx,dy ou dy,dx. É mais direto fixar x entre 1 e 4 e y de -x até raizx. Assim a área é
A=integral duplaR1,dA=integralx=1^4integraly=-x^raizx1,dy,dx

Passo 3

Primeiro calculamos a integral interna em y: ela dá raizx-(-x)=raizx+x. Logo
A=integral1^4l(raizx+xr)dx=integral1^4x^1/2dx+integral1^4x,dx

Passo 4

Agora achamos as antiderivadas:
integral x^1/2dx=tfrac23x^3/2,integral x,dx=tfracx^22

Passo 5

Avalia-se de 1 a 4:
A=l[tfrac23x^3/2+tfracx^22r]1^4=l(tfrac23cdot8+tfrac162r)-l(tfrac23cdot1+tfrac12r)=l(tfrac163+8r)-l(tfrac23+tfrac12r)

Passo 6

Finalmente fazemos as contas:
tfrac163+8=tfrac163+tfrac243=tfrac403,tfrac23+tfrac12=tfrac46+tfrac36=tfrac76,

Passo 7

A=tfrac403-tfrac76=tfrac80-76=tfrac736

Resposta

736

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