Nos itens a seguir, esboce a região limitada pelas curvas dadas e encontre sua área por meio de uma integral dupla.
Passo 1
O enunciado pede pra esboçar a região limitada pelas curvas
,
,
e
e calcular a área usando integral dupla. O conteúdo aqui é cálculo de área via integrais duplas: a área de uma região
é dada por
. Vamos precisar expressar
em termos de variáveis
e
e integrar.
Passo 2
Para entender a região
, determinamos como as curvas se cruzam e quais são os limites em
. Resolvendo
só encontramos
, mas nossos limites verticais são
a
. Nesse intervalo,
e
, então
fica abaixo de
.
Com isso, podemos montar a integral dupla em ordens ou
. É mais direto fixar
entre 1 e 4 e
de
até
. Assim a área é
Com isso, podemos montar a integral dupla em ordens
Passo 3
Primeiro calculamos a integral interna em
: ela dá
. Logo
Passo 4
Agora achamos as antiderivadas:
Passo 5
Avalia-se de 1 a 4:
Passo 6
Finalmente fazemos as contas: