Nos itens a seguir, escreva ou , justificando sua resposta.
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x d x \ldots-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{sen} x d x

Passo 1

O enunciado pede que se escreva \ge ou \le relacionando as duas integrais e que se justifique a escolha. Os dados relevantes são:
  • As duas integrais são sobre o mesmo intervalo \left[0,\tfrac{\pi}{4}\right].
  • As funções integrandas são x\mapsto \cos x e x\mapsto \sin x.
  • A pergunta é decidir se
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x\,dx \quad \text{é} \quad \ge \quad \text{ou} \quad \le \quad \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x\,dx,é
e justificar essa escolha.

Passo 2

Mostrar que \cos x \ge \sin x para todo x\in\left[0,\tfrac{\pi}{4}\right]. Para isso, considere a diferença
h(x)=\cos x-\sin x.
Usando a fórmula de adição para cosseno, tem-se
\cos(x+\tfrac{\pi}{4})=\cos x\cos\tfrac{\pi}{4}-\sin x\sin\tfrac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x).
Isolando \cos x-\sin x obtemos
\cos x-\sin x=\sqrt{2}\,\cos\!\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr).

Passo 3

Agora analisa-se o sinal de \cos\!\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr) no intervalo considerado. Se x\in\left[0,\tfrac{\pi}{4}\right] então
x+\tfrac{\pi}{4}\in\left[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2}\right].
No intervalo \left[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2}\right] a função \cos é não negativa (vale de \cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2} até \cos\tfrac{\pi}{2}=0). Portanto \cos\!\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\ge 0 e, pela relação do Passo 2,
\cos x-\sin x=\sqrt{2}\,\cos\!\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\ge 0.
Assim concluímos que, ponto a ponto no intervalo,
\cos x \ge \sin x\qquad\text{para todo }x\in\left[0,\tfrac{\pi}{4}\right].

Passo 4

Usar a propriedade básica das integrais: se f(x)\ge g(x) em [a,b] e f,g são integráveis, então
\int_a^b f(x)\,dx \ge \int_a^b g(x)\,dx.
Aplicando isso com f(x)=\cos x e g(x)=\sin x em [0,\tfrac{\pi}{4}], obtemos
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x\,dx \ge \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x\,dx.

Passo 5

(verificação numérica opcional, útil na prova) Calculemos explicitamente as duas integrais para ver os valores:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x\,dx=\bigl.\sin x\bigr|_{0}^{\frac{\pi}{4}}=\sin\tfrac{\pi}{4}-\sin 0=\frac{\sqrt{2}}{2}-0=\frac{\sqrt{2}}{2},
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x\,dx=\bigl.-\cos x\bigr|_{0}^{\frac{\pi}{4}}=-\cos\tfrac{\pi}{4}+ \cos 0=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1=1-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Comparando \frac{\sqrt{2}}{2} com 1-\frac{\sqrt{2}}{2}, basta somar \frac{\sqrt{2}}{2} aos dois lados para ver que a desigualdade equivale a \sqrt{2}\ge 1, que é verdadeira. Logo a verificação coincide com o resultado do Passo 4.

Resposta

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x\,dx \ge \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x\,dx

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