Nos itens a seguir, escreva ≥ ou ≤, justificando sua resposta. \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x d x \ldots-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{sen} x d x
Passo 1
O enunciado pede que se escreva \ge ou \le relacionando as duas integrais e que se justifique a escolha. Os dados relevantes são:
As duas integrais são sobre o mesmo intervalo \left[0,\tfrac{\pi}{4}\right].
As funções integrandas são x\mapsto \cos x e x\mapsto \sin x.
No intervalo \left[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2}\right] a função \cos é não negativa (vale de \cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2} até \cos\tfrac{\pi}{2}=0). Portanto \cos\!\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\ge 0 e, pela relação do Passo 2,
Comparando \frac{\sqrt{2}}{2} com 1-\frac{\sqrt{2}}{2}, basta somar \frac{\sqrt{2}}{2} aos dois lados para ver que a desigualdade equivale a \sqrt{2}\ge 1, que é verdadeira. Logo a verificação coincide com o resultado do Passo 4.