Nos itens a seguir, escreva os quatro primeiros elementos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso ela seja convergente, encontre o seu limite:
\left\{\left(1+\frac{1}{3 n}\right)^{n}\right\}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Escrever os quatro primeiros termos da sequência \left\{\left(1+\frac{1}{3n}\right)^{n}\right\}.
  • Determinar se a sequência é convergente ou divergente; se for convergente, encontrar o seu limite.
As informações dadas são apenas a própria definição da sequência, ou seja, para cada n\in\mathbb{N} o termo é
a_n=\left(1+\frac{1}{3n}\right)^{n}.

Passo 2

Vamos calcular explicitamente os quatro primeiros termos, substituindo n=1,2,3,4 e simplificando cada expressão.
Para n=1:
a_1=\left(1+\frac{1}{3\cdot1}\right)^{1}=\left(1+\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3}\approx 1,3333.
Para n=2:
a_2=\left(1+\frac{1}{3\cdot2}\right)^{2}=\left(1+\frac{1}{6}\right)^{2}=\left(\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}\approx 1,3611.
Para n=3:
a_3=\left(1+\frac{1}{3\cdot3}\right)^{3}=\left(1+\frac{1}{9}\right)^{3}=\left(\frac{10}{9}\right)^{3}=\frac{1000}{729}\approx 1,3717.
Para n=4:
a_4=\left(1+\frac{1}{3\cdot4}\right)^{4}=\left(1+\frac{1}{12}\right)^{4}=\left(\frac{13}{12}\right)^{4}=\frac{28561}{20736}\approx 1,3774.
Observação rápida: os quatro primeiros termos exatos são as frações escritas acima; as aproximações decimais foram dadas para intuição numérica.

Passo 3

Agora vamos estudar o comportamento quando n\to\infty. Uma técnica muito útil é trabalhar com o logaritmo natural do termo, porque exponenciais e potências ficam mais fáceis de analisar após o logaritmo.
Defina
a_n=\left(1+\frac{1}{3n}\right)^{n}.
Tomando logaritmo natural,
\ln a_n = n\ln\!\left(1+\frac{1}{3n}\right).
Para simplificar a análise, faça a substituição
u=\frac{1}{3n}.
Então u\to 0 quando n\to\infty e, resolvendo para n, temos n=\frac{1}{3u}. Substituindo,
\ln a_n = \frac{1}{3u}\ln(1+u)=\frac{1}{3}\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}.
Portanto o comportamento de \ln a_n quando n\to\infty é dado pelo limite quando u\to 0 de \dfrac{1}{3}\dfrac{\ln(1+u)}{u}.

Passo 4

Precisamos do limite
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}.
Esse é um limite clássico; pode-se calcular por l’Hôpital (é uma indeterminação do tipo 0/0). Derivando numerador e denominador em relação a u obtemos:
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=\lim_{u\to 0}\frac{\frac{d}{du}\ln(1+u)}{\frac{d}{du}u}=\lim_{u\to 0}\frac{1}{1+u}=\frac{1}{1+0}=1.
Assim
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Voltando para \ln a_n, obtemos
\lim_{n\to\infty}\ln a_n=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}.

Passo 5

Se \ln a_n\to \tfrac{1}{3}, então aplicando a função exponencial (que é contínua) segue que
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} e^{\ln a_n}=e^{\,\lim_{n\to\infty}\ln a_n}=e^{1/3}.
Portanto a sequência é convergente e o seu limite é e^{1/3}. Em forma decimal,
e^{1/3}\approx 1,3956.
Pequeno incentivo: deu trabalho, mas a ideia central é simples — passar para o logaritmo e usar o limite padrão \ln(1+u)/u\to1. Isso resolve muitas sequências do tipo \bigl(1+\frac{\text{const}}{n}\bigr)^n.

Resposta

a_1=\dfrac{4}{3}\approx 1,3333
a_2=\dfrac{49}{36}\approx 1,3611
a_3=\dfrac{1000}{729}\approx 1,3717
a_4=\dfrac{28561}{20736}\approx 1,3774
Convergente, \displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{3n}\right)^{n}=e^{1/3}\approx 1,3956

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