Nos itens a seguir, escreva os quatro primeiros elementos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso ela seja convergente, encontre o seu limite:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Escrever os quatro primeiros termos da sequência
. - Determinar se a sequência é convergente ou divergente; se for convergente, encontrar o seu limite.
As informações dadas são apenas a própria definição da sequência, ou seja, para cada
o termo é
Passo 2
Vamos calcular explicitamente os quatro primeiros termos, substituindo
e simplificando cada expressão.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Observação rápida: os quatro primeiros termos exatos são as frações escritas acima; as aproximações decimais foram dadas para intuição numérica.
Passo 3
Agora vamos estudar o comportamento quando
. Uma técnica muito útil é trabalhar com o logaritmo natural do termo, porque exponenciais e potências ficam mais fáceis de analisar após o logaritmo.
Defina
Tomando logaritmo natural,
Para simplificar a análise, faça a substituição
Então
quando
e, resolvendo para
, temos
. Substituindo,
Portanto o comportamento de
quando
é dado pelo limite quando
de
.
Passo 4
Precisamos do limite
Esse é um limite clássico; pode-se calcular por l’Hôpital (é uma indeterminação do tipo
). Derivando numerador e denominador em relação a
obtemos:
Assim
Voltando para
, obtemos
Passo 5
Se
, então aplicando a função exponencial (que é contínua) segue que
Portanto a sequência é convergente e o seu limite é
. Em forma decimal,
Pequeno incentivo: deu trabalho, mas a ideia central é simples — passar para o logaritmo e usar o limite padrão
. Isso resolve muitas sequências do tipo
.
Resposta
Convergente,