Os itens a seguir nos permitirão calcular alguns tipos especiais de limites.
a) Mostre que para todo número real
e todo natural
, vale a identidade:
Você pode mostrar isso fazendo a multiplicação polinomial do lado direito, ou usar algoritimo de divisão de polinômios e fazer a divisão
explicitamente.
b) Suponha agora que
. Fazendo
e
, usando a fórmula para
, prove a identidade:
a) Mostre que para todo número real
b) Suponha agora que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, provar a fatoração da diferença de potências: para todo
e todo
Em seguida, supondo
, definir
e aplicar a fatoração já demonstrada a
para obter
Passo 2
Para provar
multiplicamos o fator
pela soma. Note que
Escrevendo esses termos em linha, cada
cancela com o próximo
, restando apenas o primeiro termo
e o último negativo
. Logo toda a soma vale
, como queríamos.
Passo 3
Agora, suponha
e faça a substituição
Então
e
. Aplicando a fatoração do Passo 2 a
, obtemos
Mas
e cada termo
. Portanto
Resposta
a)
b)
b)