Os itens a seguir nos permitirão calcular alguns tipos especiais de limites.
a) Mostre que para todo número real a e todo natural n, vale a identidade:
x^{n}-a^{n}=(x-a)\left(x^{n-1}+x^{n-2} a+\ldots+x a^{n-2}+a^{n-1}\right) .
Você pode mostrar isso fazendo a multiplicação polinomial do lado direito, ou usar algoritimo de divisão de polinômios e fazer a divisão \frac{x^{n}-a^{n}}{x-a} explicitamente.
b) Suponha agora que a>0. Fazendo y=\sqrt[n]{x} e y_{0}=\sqrt[n]{a}, usando a fórmula para y^{n}-y_{0}^{n}, prove a identidade:
x-a=(\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a})\left(\sqrt[n]{x^{n-1}}+\sqrt[n]{x^{n-2} a}+\ldots++\sqrt[n]{x a^{n-2}}+\sqrt[n]{a^{n-1}}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, provar a fatoração da diferença de potências: para todo a\in\mathbb{R} e todo n\in\mathbb{N}
x^{n}-a^{n} = (x - a)\bigl(x^{n-1} + x^{n-2}a + \cdots + xa^{n-2} + a^{n-1}\bigr).
Em seguida, supondo a>0, definir
y = \sqrt[n]{x},\quad y_{0} = \sqrt[n]{a},
e aplicar a fatoração já demonstrada a y^{n}-y_{0}^{n} para obter
x - a = (\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a})\bigl(\sqrt[n]{x^{n-1}}+\sqrt[n]{x^{n-2}a}+\cdots+\sqrt[n]{a^{n-1}}\bigr).

Passo 2

Para provar
x^{n}-a^{n} = (x - a)\bigl(x^{n-1} + x^{n-2}a + \cdots + a^{n-1}\bigr)
multiplicamos o fator (x-a) pela soma. Note que
(x-a)\sum_{k=0}^{n-1}x^{\,n-1-k}a^{\,k} = \sum_{k=0}^{n-1}\bigl(x^{\,n-k}a^{\,k} - x^{\,n-1-k}a^{\,k+1}\bigr).
Escrevendo esses termos em linha, cada x^{\,n-1-k}a^{\,k+1} cancela com o próximo x^{\,n-(k+1)}a^{\,k+1}, restando apenas o primeiro termo x^n e o último negativo -a^n. Logo toda a soma vale x^n - a^n, como queríamos.

Passo 3

Agora, suponha a>0 e faça a substituição
y = \sqrt[n]{x},\quad y_{0} = \sqrt[n]{a}.
Então y^{n}=x e y_{0}^{n}=a. Aplicando a fatoração do Passo 2 a y^{n}-y_{0}^{n}, obtemos
y^{n}-y_{0}^{n} = (y-y_{0})\sum_{k=0}^{n-1}y^{\,n-1-k}y_{0}^{\,k}.
Mas y^{n}-y_{0}^{n}=x-a e cada termo y^{\,n-1-k}y_{0}^{\,k}=(\sqrt[n]{x})^{\,n-1-k}(\sqrt[n]{a})^{\,k}=\sqrt[n]{x^{\,n-1-k}a^{\,k}}. Portanto
x-a = (\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a}) \Bigl(\sqrt[n]{x^{n-1}}+\sqrt[n]{x^{n-2}a}+\cdots+\sqrt[n]{a^{n-1}}\Bigr).

Resposta

a) \displaystyle x^{n}-a^{n} = (x - a)\bigl(x^{n-1} + x^{n-2}a + \cdots + a^{n-1}\bigr).
b) \displaystyle x-a = (\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a})\bigl(\sqrt[n]{x^{n-1}}+\sqrt[n]{x^{n-2}a}+\cdots+\sqrt[n]{a^{n-1}}\bigr).

Exercícios relacionados