Use o exercício anterior para calcular os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-9}{x+3}
Por fim, dado n \in \mathbb{N}, calcule \lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}. Se a>0 calcule também \lim _{x \rightarrow a} \frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a}}{x-a}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular três limites relacionados à diferença de potências e raízes:
  1. \displaystyle \lim_{x\to3}\frac{x^{2}-9}{x+3}.
  2. Para n\in\mathbb{N}, \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}.
  3. Quando a>0, \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a}}{x-a}.
    Vamos usar o fatoramento de diferenças de potências e, no terceiro caso, a definição de raiz n-ésima junto com o mesmo fatoramento.

Passo 2

Para \displaystyle \lim_{x\to3}\frac{x^{2}-9}{x+3} usamos o fatoramento
x^{2}-9=(x-3)(x+3).
Logo, para x\neq -3,
\frac{x^{2}-9}{x+3} =\frac{(x-3)(x+3)}{x+3} =x-3.
Ao passar para o limite x\to3, obtemos
\lim_{x\to3}\frac{x^{2}-9}{x+3} =\lim_{x\to3}(x-3) =3-3 =0.

Passo 3

No caso geral, aplicamos o fatoramento da diferença de n-ésimas potências:
x^{n}-a^{n}=(x-a)\bigl(x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots+a^{n-1}\bigr).
Assim, para x\neq a,
\frac{x^{n}-a^{n}}{x-a} =x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots+a^{n-1}.
Fazendo x\to a e lembrando que cada termo vira a^{n-1}, temos n termos iguais, de modo que
\lim_{x\to a}\frac{x^{n}-a^{n}}{x-a} =n\,a^{n-1}.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a}}{x-a} com a>0, definimos
u=\sqrt[n]{x},\quad v=\sqrt[n]{a},
de modo que x=u^{n} e a=v^{n}. Então
x-a =u^{n}-v^{n} =(u-v)\bigl(u^{n-1}+u^{n-2}v+\cdots+v^{n-1}\bigr).
Isso nos dá, para u\neq v,
\frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a}}{x-a} =\frac{u-v}{(u-v)\bigl(u^{n-1}+\cdots+v^{n-1}\bigr)} =\frac{1}{u^{n-1}+\cdots+v^{n-1}}.
Ao fazer x\to a temos u\to v=a^{1/n}, e o somatório de n termos iguais vale n\,a^{\frac{n-1}{n}}. Portanto
\lim_{x\to a}\frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a}}{x-a} =\frac{1}{n\,a^{\frac{n-1}{n}}} =\frac{1}{n\,a^{1-\frac1n}}.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{x^{2}-9}{x+3}=0\\\ \lim_{x\to a}\frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}=n\,a^{n-1}\\\ \text{(para \(a>0) }\(lim_{x\to a})\frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a}}{x-a}=\frac{1}{n, a^{\frac{n-1}{n}}}.)

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