Use o exercício anterior para calcular os limites a seguir:
Por fim, dado
, calcule
. Se
calcule também
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular três limites relacionados à diferença de potências e raízes:
-
. - Para
, . - Quando
, .
Vamos usar o fatoramento de diferenças de potências e, no terceiro caso, a definição de raiz-ésima junto com o mesmo fatoramento.
Passo 2
Para
usamos o fatoramento
Logo, para
,
Ao passar para o limite
, obtemos
Passo 3
No caso geral, aplicamos o fatoramento da diferença de
-ésimas potências:
Assim, para
,
Fazendo
e lembrando que cada termo vira
, temos
termos iguais, de modo que
Passo 4
Para calcular
com
, definimos
de modo que
e
. Então
Isso nos dá, para
,
Ao fazer
temos
, e o somatório de
termos iguais vale
. Portanto
Resposta
) }\(lim_{x\to a})\frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a}}{x-a}=\frac{1}{n,
{n}}}.)