Use o exercício anterior para calcular os limites a seguir:
Por fim, dado
, calcule
. Se
calcule também
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular três limites envolvendo quocientes de funções que se anulam no ponto de interesse. O conteúdo principal é a fatoração de diferenças de potências e a interpretação do limite como derivada em um ponto. Vamos usar: diferença de quadrados, diferença de potências gerais e, para a raiz enésima, uma fatoração análoga (ou a regra da derivada de
).
Passo 2
Para
note que
é diferença de quadrados. Escrevemos
logo, para
,
Fazendo
, fica
Passo 3
Para
usamos a fatoração da diferença de potências:
Assim, para
,
Ao fazer
, cada termo
tende a
, e são
termos iguais. Portanto,
Passo 4
Para
defina
. O limite é a derivada de
em
:
Alternativamente, faz-se fatoração análoga à do passo anterior em termos de potências fracionárias e chega-se ao mesmo resultado.