Nos itens a seguir, use a definição de limite de sequência para provar que a sequência dada tem o limite L : \left\{\frac{2 n^{2}}{5 n^{2}+1}\right\}, \quad L=\frac{2}{5}
Passo 1
O enunciado dá a sequência \left\{\frac{2 n^{2}}{5 n^{2}+1}\right\}_{n=1}^{\infty} e afirma que o limite é L=\frac{2}{5}. O que precisamos provar é que, segundo a definição precisa de limite de sequência, para todo \varepsilon>0 existe um N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, vale
Vou lembrar a definição de convergência (isso é essencial para a prova): dizer que \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = L significa que
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe }N\in\mathbb{N}\text{ tal que, para todo }n\ge N,\;|a_n-L|<\varepsilon.
Aqui a_n=\dfrac{2 n^{2}}{5 n^{2}+1} e L=\dfrac{2}{5}. A estratégia é manipular |a_n-L| para obter uma estimativa simples em função de n e então escolher N em termos de \varepsilon.
onde \lceil\cdot\rceil é o teto (o menor inteiro \ge o valor). Para esse N, para todo n\ge N vale \left|\dfrac{2 n^{2}}{5 n^{2}+1}-\dfrac{2}{5}\right|<\varepsilon. Isso é exatamente a definição de \displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{2 n^{2}}{5 n^{2}+1}=\dfrac{2}{5}. Bom trabalho — a ideia central é reduzir a diferença a uma função simples de n (aqui proporcional a 1/n^{2}) e então escolher N que torne essa função menor que \varepsilon.