Nos itens a seguir, use a definição de limite de sequência para provar que a sequência dada tem o limite L :
\left\{\frac{2 n^{2}}{5 n^{2}+1}\right\}, \quad L=\frac{2}{5}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left\{\frac{2 n^{2}}{5 n^{2}+1}\right\}_{n=1}^{\infty} e afirma que o limite é L=\frac{2}{5}. O que precisamos provar é que, segundo a definição precisa de limite de sequência, para todo \varepsilon>0 existe um N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, vale
\left|\frac{2 n^{2}}{5 n^{2}+1}-\frac{2}{5}\right|<\varepsilon.

Passo 2

Vou lembrar a definição de convergência (isso é essencial para a prova): dizer que \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = L significa que
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe }N\in\mathbb{N}\text{ tal que, para todo }n\ge N,\;|a_n-L|<\varepsilon.
Aqui a_n=\dfrac{2 n^{2}}{5 n^{2}+1} e L=\dfrac{2}{5}. A estratégia é manipular |a_n-L| para obter uma estimativa simples em função de n e então escolher N em termos de \varepsilon.

Passo 3

Calculo a diferença e simplifico passo a passo:
\frac{2 n^{2}}{5 n^{2}+1}-\frac{2}{5} =2\!\left(\frac{n^{2}}{5 n^{2}+1}-\frac{1}{5}\right) =2\!\left(\frac{5n^{2}-(5n^{2}+1)}{5(5 n^{2}+1)}\right) =2\!\left(\frac{-1}{5(5 n^{2}+1)}\right) =-\frac{2}{5(5 n^{2}+1)}.
Portanto, a diferença em módulo é
\left|\frac{2 n^{2}}{5 n^{2}+1}-\frac{2}{5}\right| =\frac{2}{5(5 n^{2}+1)}.

Passo 4

Agora faço uma estimativa superior mais simples que facilita escolher N. Como 5 n^{2}+1\ge 5 n^{2} para todo n, segue
\frac{2}{5(5 n^{2}+1)}\le \frac{2}{5\cdot 5 n^{2}}=\frac{2}{25\,n^{2}}.
Logo basta garantir
\frac{2}{25\,n^{2}}<\varepsilon.
Resolvendo essa desigualdade para n positivo obtemos
n^{2}>\frac{2}{25\varepsilon}\quad\Longrightarrow\quad n>\sqrt{\frac{2}{25\varepsilon}}.
Portanto, se escolhermos um inteiro N tal que
N>\sqrt{\frac{2}{25\varepsilon}},
então para todo n\ge N teremos \dfrac{2}{25\,n^{2}}<\varepsilon, e por consequência
\left|\frac{2 n^{2}}{5 n^{2}+1}-\frac{2}{5}\right| \le \frac{2}{25\,n^{2}}<\varepsilon.

Passo 5

Concluo a prova formal: dado qualquer \varepsilon>0, escolha por exemplo
N=\left\lceil\sqrt{\frac{2}{25\varepsilon}}\right\rceil,
onde \lceil\cdot\rceil é o teto (o menor inteiro \ge o valor). Para esse N, para todo n\ge N vale \left|\dfrac{2 n^{2}}{5 n^{2}+1}-\dfrac{2}{5}\right|<\varepsilon. Isso é exatamente a definição de \displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{2 n^{2}}{5 n^{2}+1}=\dfrac{2}{5}. Bom trabalho — a ideia central é reduzir a diferença a uma função simples de n (aqui proporcional a 1/n^{2}) e então escolher N que torne essa função menor que \varepsilon.

Resposta

\dfrac{2}{5}

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