Nos itens abaixo, determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona:
\left\{\frac{n!}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a sequência
a_n=\frac{n!}{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}
é crescente, decrescente ou não monótona. Aqui estamos supondo n inteiro positivo, isto é, n\ge 1. Informação importante dada: o numerador é o fatorial n! e o denominador é o produto dos n primeiros números ímpares 1,3,5,\dots,2n-1.

Passo 2

Vamos manipular as expressões usando propriedades básicas de fatorial e produtos. Lembrete útil (explicação didática): \,n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n\, e se eu quiser escrever o termo seguinte (n+1)! posso usar (n+1)!=(n+1)\,n!. Do mesmo modo, o denominador para a_{n+1} é o denominador de a_n multiplicado por mais um fator (2n+1), porque os primeiros n+1 ímpares são 1,3,\dots,2n-1,2n+1.

Passo 3

Calculemos a razão entre termos consecutivos; este é um método padrão e simples para testar monotonicidade: se
\frac{a_{n+1}}{a_n}<1
então a_{n+1}<a_n e a sequência é decrescente (estritamente). Agora o cálculo:
a_{n+1}=\frac{(n+1)!}{1\cdot 3\cdot\cdots\cdot(2n-1)\cdot(2n+1)}
Usando (n+1)!=(n+1)\,n! e notando que o denominador de a_{n+1} é o denominador de a_n multiplicado por (2n+1), obtemos
a_{n+1} =\frac{(n+1)\,n!}{\bigl(1\cdot 3\cdot\cdots\cdot(2n-1)\bigr)\,(2n+1)} = a_n\cdot\frac{n+1}{2n+1}.
Portanto a razão é
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{2n+1}.

Passo 4

Agora comparamos \dfrac{n+1}{2n+1} com 1. Para n\ge 1 temos
\frac{n+1}{2n+1}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad n+1<2n+1 \quad\Longleftrightarrow\quad 0<n,
que é verdadeiro. Logo \dfrac{a_{n+1}}{a_n}<1 para todo n\ge 1, o que implica a_{n+1}<a_n para todo n\ge1. Assim a sequência é estritamente decrescente.
Para dar uma intuição numérica rápida: a_1=\dfrac{1!}{1}=1, a_2=\dfrac{2!}{1\cdot3}=\dfrac{2}{3}, a_3=\dfrac{3!}{1\cdot3\cdot5}=\dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5}, e vemos claramente os termos caindo.

Resposta

Estritamente decrescente.

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