Nos itens abaixo, determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona:
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a sequência
é crescente, decrescente ou não monótona. Aqui estamos supondo
inteiro positivo, isto é,
. Informação importante dada: o numerador é o fatorial
e o denominador é o produto dos
primeiros números ímpares
.
Passo 2
Vamos manipular as expressões usando propriedades básicas de fatorial e produtos. Lembrete útil (explicação didática):
e se eu quiser escrever o termo seguinte
posso usar
. Do mesmo modo, o denominador para
é o denominador de
multiplicado por mais um fator
, porque os primeiros
ímpares são
.
Passo 3
Calculemos a razão entre termos consecutivos; este é um método padrão e simples para testar monotonicidade: se
então
e a sequência é decrescente (estritamente). Agora o cálculo:
Usando
e notando que o denominador de
é o denominador de
multiplicado por
, obtemos
Portanto a razão é
Passo 4
Agora comparamos
com
. Para
temos
que é verdadeiro. Logo
para todo
, o que implica
para todo
. Assim a sequência é estritamente decrescente.
Para dar uma intuição numérica rápida:
,
,
, e vemos claramente os termos caindo.
Resposta
Estritamente decrescente.