Nos itens a seguir, escreva os quatro primeiros elementos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso ela seja convergente, encontre o seu limite:
(Sugestão: considere os dois casos:
e
.)
Passo 1
O enunciado dá a sequência
com
e pede:
- Escrever os quatro primeiros termos da sequência.
- Determinar se a sequência é convergente ou divergente.
- Se for convergente, encontrar o seu limite.
Informações relevantes fornecidas:
- A sequência é dada por termos da forma
para . - Foi sugerido considerar os dois casos
e . - Não há outras restrições além de
.
Passo 2
Escrevendo explicitamente os quatro primeiros termos: para
temos
Como exemplos numericamente intuitivos (apenas para sentir a sequência):
- Se
: . - Se
: .
Passo 3
Estratégia para estudar o limite: trabalhar com o logaritmo natural torna a análise muito direta. Defina
Se
(o que vale pois
), então podemos aplicar o logaritmo natural:
Agora usamos uma propriedade simples de limites:
quando
. Como
é uma constante (dependendo de
), o produto tende a zero:
Finalmente, como a função exponencial
é contínua, podemos expoenciar o limite:
Isto já mostra que, para qualquer
, a sequência tende para
. Vou agora separar os casos sugeridos para dar uma explicação mais intuitiva e mostrar monotonicidade/bondade quando for útil na prova.
Passo 4
Caso
. Neste caso
e para todo
Logo a sequência é constante igual a
e converge trivialmente para
.
Passo 5
Caso
. Observações úteis (para prova sem calcular logaritmos mais profundamente):
- Para
e expoentes tem-se porque a função é crescente quando . Como , isso implica
ou seja, a sequência é estritamente decrescente.
- Além disso, para
cada termo satisfaz . Assim a sequência é decrescente e limitada inferiormente por .
Por um teorema básico (sequência monótona e limitada converge), a sequência converge. Como já mostramos pelo logaritmo, o limite é. Intuição: raízes de ordem cada vez maior “trazem” qualquer número maior que 1 para mais perto de 1.
Passo 6
Caso
. Observações simétricas:
- Para
a função é decrescente (porque ), então, com , segue
ou seja, a sequência é estritamente crescente.
- Para
temos para todo , então a sequência é crescente e limitada superiormente por .
Novamente, por monotonia e limite superior, a sequência converge; e pelo argumento do logaritmo o limite é. Intuição: quando as raízes maiores aumentam o valor mas se aproximam de por cima.
Passo 7
Resumo e reforço didático:
- Seja qual for o
, a transformação converte potências em produtos: . Como , o produto tende a e, aplicando a exponencial, . - Monotonicidade e limites laterais confirmam a direção da aproximação: se
aproxima-se de por cima (termos e decrescentes), se aproxima-se por baixo (termos e crescentes). Para a sequência é constante .
Resposta
Os quatro primeiros termos são
.
A sequência é convergente para todo e o seu limite é
.
A sequência é convergente para todo