Nos itens a seguir, escreva os quatro primeiros elementos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso ela seja convergente, encontre o seu limite:
\left\{r^{1 / n}\right\}, \quad r>0 (Sugestão: considere os dois casos: r \leq 1 e r>1.)

Passo 1

O enunciado dá a sequência \{r^{1/n}\} com r>0 e pede:
  • Escrever os quatro primeiros termos da sequência.
  • Determinar se a sequência é convergente ou divergente.
  • Se for convergente, encontrar o seu limite.
Informações relevantes fornecidas:
  • A sequência é dada por termos da forma a_n = r^{1/n} para n=1,2,3,\dots.
  • Foi sugerido considerar os dois casos r\leq 1 e r>1.
  • Não há outras restrições além de r>0.

Passo 2

Escrevendo explicitamente os quatro primeiros termos: para n=1,2,3,4 temos
a_1 = r^{1/1}=r,\qquad a_2 = r^{1/2}=\sqrt{r},\qquad a_3 = r^{1/3},\qquad a_4 = r^{1/4}.
Como exemplos numericamente intuitivos (apenas para sentir a sequência):
  • Se r=4: a_1=4,\\ a_2=2,\\ a_3=\sqrt[3]{4}\approx1{,}587,\\ a_4=\sqrt[4]{4}\approx1{,}414.
  • Se r=\tfrac{1}{4}: a_1=\tfrac{1}{4},\\ a_2=\tfrac{1}{2},\\ a_3\approx0{,}63,\\ a_4\approx0{,}71.

Passo 3

Estratégia para estudar o limite: trabalhar com o logaritmo natural torna a análise muito direta. Defina
a_n = r^{1/n}.
Se a_n>0 (o que vale pois r>0), então podemos aplicar o logaritmo natural:
\ln a_n = \ln\!\big(r^{1/n}\big)=\frac{1}{n}\ln r.
Agora usamos uma propriedade simples de limites: \dfrac{1}{n}\to0 quando n\to\infty. Como \ln r é uma constante (dependendo de r), o produto tende a zero:
\lim_{n\to\infty}\ln a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln r = 0.
Finalmente, como a função exponencial x\mapsto e^{x} é contínua, podemos expoenciar o limite:
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} e^{\ln a_n}= e^{\; \lim_{n\to\infty}\ln a_n}=e^{0}=1.
Isto já mostra que, para qualquer r>0, a sequência tende para 1. Vou agora separar os casos sugeridos para dar uma explicação mais intuitiva e mostrar monotonicidade/bondade quando for útil na prova.

Passo 4

Caso r=1. Neste caso \ln r=0 e para todo n
a_n = 1^{1/n}=1.
Logo a sequência é constante igual a 1 e converge trivialmente para 1.

Passo 5

Caso r>1. Observações úteis (para prova sem calcular logaritmos mais profundamente):
  • Para r>1 e expoentes s<t tem-se r^{s}<r^{t} porque a função x\mapsto r^{x} é crescente quando r>1. Como \tfrac{1}{n+1}<\tfrac{1}{n}, isso implica
a_{n+1}=r^{1/(n+1)}<r^{1/n}=a_n,
ou seja, a sequência é estritamente decrescente.
  • Além disso, para r>1 cada termo satisfaz a_n=r^{1/n}>1. Assim a sequência é decrescente e limitada inferiormente por 1.
    Por um teorema básico (sequência monótona e limitada converge), a sequência converge. Como já mostramos pelo logaritmo, o limite é 1. Intuição: raízes de ordem cada vez maior “trazem” qualquer número maior que 1 para mais perto de 1.

Passo 6

Caso 0<r<1. Observações simétricas:
  • Para 0<r<1 a função x\mapsto r^{x} é decrescente (porque \ln r<0), então, com \tfrac{1}{n+1}<\tfrac{1}{n}, segue
a_{n+1}=r^{1/(n+1)}>r^{1/n}=a_n,
ou seja, a sequência é estritamente crescente.
  • Para 0<r<1 temos a_n=r^{1/n}<1 para todo n, então a sequência é crescente e limitada superiormente por 1.
    Novamente, por monotonia e limite superior, a sequência converge; e pelo argumento do logaritmo o limite é 1. Intuição: quando 0<r<1 as raízes maiores aumentam o valor mas se aproximam de 1 por cima.

Passo 7

Resumo e reforço didático:
  • Seja qual for o r>0, a transformação \ln converte potências em produtos: \ln(r^{1/n})=(1/n)\ln r. Como 1/n\to0, o produto tende a 0 e, aplicando a exponencial, r^{1/n}\to e^{0}=1.
  • Monotonicidade e limites laterais confirmam a direção da aproximação: se r>1 aproxima-se de 1 por cima (termos >1 e decrescentes), se 0<r<1 aproxima-se por baixo (termos <1 e crescentes). Para r=1 a sequência é constante 1.

Resposta

Os quatro primeiros termos são r,\; r^{1/2},\; r^{1/3},\; r^{1/4}.
A sequência é convergente para todo r>0 e o seu limite é \displaystyle 1.

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