No itens a seguir, verifique se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico se a resposta for verdadeira, ou um contraexemplo para mostrar que a afirmação é falsa.
Se A, B \in M_{n}(\mathbb{R}), então (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se vale sempre a igualdade
(A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2}
para quaisquer matrizes A,B\in M_{n}(\mathbb{R}). O conteúdo aqui é álgebra de matrizes, em particular o fato de que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa.

Passo 2

Usando distributividade do produto de matrizes, temos
(A+B)(A-B) = A\,A \;-\; A\,B \;+\; B\,A \;-\; B\,B = A^{2} \;-\; AB \;+\; BA \;-\; B^{2}.
Para que isso seja igual a A^{2}-B^{2}, seria necessário que
-AB + BA = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad AB = BA,
ou seja, A e B teriam que comutar.

Passo 3

Como em geral AB\neq BA, a afirmação não pode ser verdadeira para todas as matrizes. Basta encontrar um contraexemplo com duas matrizes que não comutam.

Passo 4

Considere as matrizes 2\times2
A = \begin{pmatrix}0 & 1\\[6pt]0 & 0\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}0 & 0\\[6pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Calculamos:
AB = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}, \quad A^{2} = B^{2} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Logo,
(A+B)(A-B) = A^{2} - AB + BA - B^{2} = BA - AB = \begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
enquanto
A^{2} - B^{2} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Como \begin{pmatrix}-1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, a igualdade falha neste caso.]

Resposta

Falsa. Basta o contraexemplo do passo 4 para mostrar que (A+B)(A-B)\neq A^{2}-B^{2) quando AB\neq BA.

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