No itens a seguir, verifique se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico se a resposta for verdadeira, ou um contraexemplo para mostrar que a afirmação é falsa.
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para verificar se vale sempre a igualdade
para quaisquer matrizes
. O conteúdo aqui é álgebra de matrizes, em particular o fato de que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa.
Passo 2
Usando distributividade do produto de matrizes, temos
Para que isso seja igual a
, seria necessário que
ou seja,
e
teriam que comutar.
Passo 3
Como em geral
, a afirmação não pode ser verdadeira para todas as matrizes. Basta encontrar um contraexemplo com duas matrizes que não comutam.
Passo 4
Considere as matrizes
Calculamos:
Logo,
enquanto
Como
, a igualdade falha neste caso.]
Resposta
Falsa. Basta o contraexemplo do passo 4 para mostrar que
quando
.