Justifique as seguintes afirmações:
Prove que três vetores
e
em
são sempre linearmente dependentes, ou seja, sempre existem escalares
não todos nulos tais que
.
Prove que três vetores
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que dados três vetores em
,
sempre existem escalares
, nem todos nulos, tais que
O conteúdo principal é dependência linear em espaços de dimensão finita; para resolver, usaremos a ideia de sistema linear homogêneo com menos equações que incógnitas.
Passo 2
Traduzimos a condição
em um sistema de duas equações lineares homogêneas nas três incógnitas
:
Passo 3
Note que o sistema tem 2 equações e 3 incógnitas. Pelo teorema geral de sistemas lineares, quando o número de incógnitas é maior que o de equações, o espaço solução do sistema homogêneo tem dimensão pelo menos 1. Em outras palavras, existe uma solução
.
Passo 4
Como encontramos
não todos nulos satisfazendo o sistema, obtemos uma combinação linear não trivial
Isso demonstra que
são linearmente dependentes em
.
Resposta
Como o sistema homogêneo
tem mais incógnitas (
) do que equações (
), sempre existe solução não trivial
. Portanto, quaisquer três vetores em
são linearmente dependentes.