Justifique as seguintes afirmações:
Prove que três vetores u=\left(x_{1}, y_{1}\right), v=\left(x_{2}, y_{2}\right) e w=\left(x_{3}, y_{3}\right) em \mathbb{R}^{2} são sempre linearmente dependentes, ou seja, sempre existem escalares a, b, c \in \mathbb{R} não todos nulos tais que a u+b v+c w=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que dados três vetores em \mathbb{R}^2,
u=(x_{1},y_{1}),\quad v=(x_{2},y_{2}),\quad w=(x_{3},y_{3}),
sempre existem escalares a,b,c, nem todos nulos, tais que
a\,u + b\,v + c\,w = 0.
O conteúdo principal é dependência linear em espaços de dimensão finita; para resolver, usaremos a ideia de sistema linear homogêneo com menos equações que incógnitas.

Passo 2

Traduzimos a condição a\,u + b\,v + c\,w=0 em um sistema de duas equações lineares homogêneas nas três incógnitas a,b,c:
\begin{cases} a\,x_{1} + b\,x_{2} + c\,x_{3} = 0,\\\ a\,y_{1} + b\,y_{2} + c\,y_{3} = 0. \end{cases}

Passo 3

Note que o sistema tem 2 equações e 3 incógnitas. Pelo teorema geral de sistemas lineares, quando o número de incógnitas é maior que o de equações, o espaço solução do sistema homogêneo tem dimensão pelo menos 1. Em outras palavras, existe uma solução (a,b,c)\neq(0,0,0).

Passo 4

Como encontramos (a,b,c) não todos nulos satisfazendo o sistema, obtemos uma combinação linear não trivial
a\,u + b\,v + c\,w = 0.
Isso demonstra que u,v,w são linearmente dependentes em \mathbb{R}^2.

Resposta

Como o sistema homogêneo
\begin{cases} a\,x_{1} + b\,x_{2} + c\,x_{3} = 0,\\\ a\,y_{1} + b\,y_{2} + c\,y_{3} = 0 \end{cases}
tem mais incógnitas ( 3) do que equações ( 2), sempre existe solução não trivial (a,b,c)\neq(0,0,0). Portanto, quaisquer três vetores em \mathbb{R}^2 são linearmente dependentes.

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