J) Determine se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente:
6.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}
é convergente ou divergente. Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{1}{n!}.
  • A soma é indexada por n=1,2,3,\dots.
Não vou resolver nada aqui ainda; só organizei exatamente o que foi pedido e qual expressão foi dada.

Passo 2

Entendendo n! (fatorial) e o comportamento dos termos:
  • Por definição, para inteiro n\ge1,
n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n.
  • Alguns valores pequenos para ter intuição:
1!=1,\quad 2!=2,\quad 3!=6,\quad 4!=24,\quad 5!=120,\quad 6!=720.
  • Observação: n! cresce muito rápido com n. Então a_n=\dfrac{1}{n!} tende a zero muito rápido quando n\to\infty. Isso é um bom sinal para convergência, mas não garante por si só — precisamos de um teste de séries.

Passo 3

Apresentando o Teste da Razão (d’Alembert), que é muito adequado quando aparecem fatoriais:
  • Teorema (Teste da Razão): para uma série com termos a_n (reais ou complexos), se existir
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,
então:
  • se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente (logo converge);
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.
  • Intuição simples: se os termos são multiplicados por uma quantidade que, no limite, é menor que 1, então eles diminuem geometricamente e a soma converge (como uma série geométrica).
Vou aplicar esse teste ao nosso caso porque o fatorial facilita o cálculo de \dfrac{a_{n+1}}{a_n}.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão à série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n!}:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1}{n!}. Então
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\dfrac{1}{(n+1)!}}{\dfrac{1}{n!}}=\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}.
  • Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0.
  • Como L=0<1, pelo Teste da Razão a série converge absolutamente. Logo a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n!} é convergente.

Passo 5

Prova alternativa (útil para a prova): comparação com uma série geométrica — demonstração por indução de uma desigualdade simples.
  • Vou mostrar que, para todo n\ge1,
n!\ge 2^{\,n-1}.
(É uma desigualdade clássica e fácil de provar por indução.)
  • Base n=1: 1! =1\ge 2^{0}=1 — ok.
  • Passo indutivo: suponha k!\ge 2^{k-1}. Então
(k+1)!=(k+1)k!\ge (k+1)2^{k-1}\ge 2\cdot 2^{k-1}=2^{k},
porque k+1\ge 2 para k\ge1. Logo vale para k+1. Indução concluída.
  • Da desigualdade segue que, para n\ge1,
\frac{1}{n!}\le \frac{1}{2^{\,n-1}}.
  • A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{\,n-1}} é geométrica com razão 1/2, e portanto converge. Pelo Teste da Comparação (cada termo do nosso a_n é menor ou igual ao termo correspondente da geométrica convergente), conclui-se novamente que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!} converge.
Essa prova por comparação é boa quando não se quer usar limites: basta comparar com uma geométrica conhecida.

Passo 6

Valor da soma (comentário extra, útil e curto):
  • É conhecida a expansão da exponencial:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e,
onde e é a base dos logaritmos naturais. Como a nossa soma começa em n=1, temos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}=e-1.
Isso mostra não só convergência, mas também o valor exato da soma.

Passo 7

Resumo final e ânimo: a série converge de maneira bem forte (convergência absoluta) porque os termos decrescem muito rápido (fatorial no denominador). Se você estiver em prova, aplicar o Teste da Razão é a maneira direta e segura — calcule \dfrac{a_{n+1}}{a_n} e veja que tende a 0, então conclui-se imediatamente.

Resposta

Convergente (convergência absoluta). Soma = e-1.

Exercícios relacionados