Observação: n! cresce muito rápido com n. Então a_n=\dfrac{1}{n!} tende a zero muito rápido quando n\to\infty. Isso é um bom sinal para convergência, mas não garante por si só — precisamos de um teste de séries.
Passo 3
Apresentando o Teste da Razão (d’Alembert), que é muito adequado quando aparecem fatoriais:
Teorema (Teste da Razão): para uma série com termos a_n (reais ou complexos), se existir
se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente (logo converge);
se L>1, a série diverge;
se L=1, o teste é inconclusivo.
Intuição simples: se os termos são multiplicados por uma quantidade que, no limite, é menor que 1, então eles diminuem geometricamente e a soma converge (como uma série geométrica).
Vou aplicar esse teste ao nosso caso porque o fatorial facilita o cálculo de \dfrac{a_{n+1}}{a_n}.
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão à série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n!}:
porque k+1\ge 2 para k\ge1. Logo vale para k+1. Indução concluída.
Da desigualdade segue que, para n\ge1,
\frac{1}{n!}\le \frac{1}{2^{\,n-1}}.
A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{\,n-1}} é geométrica com razão 1/2, e portanto converge. Pelo Teste da Comparação (cada termo do nosso a_n é menor ou igual ao termo correspondente da geométrica convergente), conclui-se novamente que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!} converge.
Essa prova por comparação é boa quando não se quer usar limites: basta comparar com uma geométrica conhecida.
Passo 6
Valor da soma (comentário extra, útil e curto):
É conhecida a expansão da exponencial:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e,
onde e é a base dos logaritmos naturais. Como a nossa soma começa em n=1, temos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}=e-1.
Isso mostra não só convergência, mas também o valor exato da soma.
Passo 7
Resumo final e ânimo: a série converge de maneira bem forte (convergência absoluta) porque os termos decrescem muito rápido (fatorial no denominador). Se você estiver em prova, aplicar o Teste da Razão é a maneira direta e segura — calcule \dfrac{a_{n+1}}{a_n} e veja que tende a 0, então conclui-se imediatamente.