J) Determine se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente:
5.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4 n}+\frac{1}{4^{n}}\right)
5.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4 n}+\frac{1}{4^{n}}\right)
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os termos são não-negativos para todo
. - A soma de uma série é a soma dos seus termos termo a termo; portanto a série pode ser vista como soma de duas séries:
A pergunta é: a série dada converge ou diverge?
Passo 2
Vamos usar a propriedade que, para séries com termos não-negativos, a soma da série é a soma das séries separadas (ou seja, trabalhar por linearidade):
Então basta estudar a convergência de cada uma das duas séries à direita.
Passo 3
Análise da primeira série
.
Primeiro use a propriedade de fator constante: se
é constante então
quando a soma faz sentido. Aplicando com
e
obtemos
A série
é a famosa série harmônica e é conhecida por divergir. Uma demonstração simples por teste da integral é a seguinte.
Considere a função
para
. Essa função é positiva e decrescente. Pelo teste da integral, se
diverge, então
também diverge. Calculando a integral:
Logo a integral diverge, portanto a série harmônica diverge. Como
é constante não nula, multiplicar por
não torna a série convergente:
também diverge.
Passo 4
Análise da segunda série
.
Essa é uma série geométrica com termo genérico
onde
. A regra para séries geométricas é:
- Se
, então converge e tem soma - Se
, diverge.
Aqui
, portanto a série converge. Para nosso caso:
Passo 5
Conclusão combinando os resultados.
Temos que
diverge e
converge. Como os termos são não-negativos, os somatórios parciais da série original satisfazem, para todo
,
Mas as somas parciais do lado direito tendem a
(já que a série
diverge para
). Portanto
quando
, o que significa que a série dada diverge.
(Uma observação alternativa: pelo teste da comparação limite,
, então
tem o mesmo comportamento da harmônica e diverge; somar um termo geométrico convergente não muda isso porque os termos são positivos.)
Passo 6
Resumo final e um incentivo rápido: a presença da parte
(que é proporcional à harmônica) já garante divergência — não importa que exista um segundo somável. Vai dar tudo certo na prova: identifique partes padrão (harmônica, geométrica) e use linearidade + comparação; isso resolve muitas séries.
Resposta
Divergente