J) Determine se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente:
5.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4 n}+\frac{1}{4^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4 n}+\frac{1}{4^{n}}\right)
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os termos são não-negativos para todo n.
  • A soma de uma série é a soma dos seus termos termo a termo; portanto a série pode ser vista como soma de duas séries: \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n} \qquad\text{e}\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^{n}}.
A pergunta é: a série dada converge ou diverge?

Passo 2

Vamos usar a propriedade que, para séries com termos não-negativos, a soma da série é a soma das séries separadas (ou seja, trabalhar por linearidade):
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4 n}+\frac{1}{4^{n}}\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^{n}}.
Então basta estudar a convergência de cada uma das duas séries à direita.

Passo 3

Análise da primeira série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n}.
Primeiro use a propriedade de fator constante: se c é constante então
\sum_{n=1}^{\infty} c\cdot a_n = c\cdot \sum_{n=1}^{\infty} a_n,
quando a soma faz sentido. Aplicando com c=\dfrac{1}{4} e a_n=\dfrac{1}{n} obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n}=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} é a famosa série harmônica e é conhecida por divergir. Uma demonstração simples por teste da integral é a seguinte.
Considere a função f(x)=\dfrac{1}{x} para x\ge1. Essa função é positiva e decrescente. Pelo teste da integral, se
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx
diverge, então \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} também diverge. Calculando a integral:
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx=\lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t}\frac{1}{x}\,dx =\lim_{t\to\infty}\left[\ln x\right]_{1}^{t} =\lim_{t\to\infty}\ln t=\infty.
Logo a integral diverge, portanto a série harmônica diverge. Como \dfrac{1}{4} é constante não nula, multiplicar por \dfrac{1}{4} não torna a série convergente: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n} também diverge.

Passo 4

Análise da segunda série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^{n}}.
Essa é uma série geométrica com termo genérico r^{n} onde r=\dfrac{1}{4}. A regra para séries geométricas é:
  • Se |r|<1, então \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} converge e tem soma \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
  • Se |r|\ge1, diverge.
Aqui |r|=\dfrac{1}{4}<1, portanto a série converge. Para nosso caso:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^{n}}=\frac{\tfrac{1}{4}}{1-\tfrac{1}{4}}=\frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{3}{4}}=\frac{1}{3}.

Passo 5

Conclusão combinando os resultados.
Temos que \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n} diverge e \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^{n}} converge. Como os termos são não-negativos, os somatórios parciais da série original satisfazem, para todo N,
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{4 n}+\frac{1}{4^{n}}\right) \ge \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{4 n}.
Mas as somas parciais do lado direito tendem a +\infty (já que a série \sum \frac{1}{4n} diverge para +\infty). Portanto S_N\to+\infty quando N\to\infty, o que significa que a série dada diverge.
(Uma observação alternativa: pelo teste da comparação limite, \lim_{n\to\infty}\dfrac{\frac{1}{4n}}{\frac{1}{n}}=\dfrac{1}{4}>0, então \sum \frac{1}{4n} tem o mesmo comportamento da harmônica e diverge; somar um termo geométrico convergente não muda isso porque os termos são positivos.)

Passo 6

Resumo final e um incentivo rápido: a presença da parte \dfrac{1}{4n} (que é proporcional à harmônica) já garante divergência — não importa que exista um segundo somável. Vai dar tudo certo na prova: identifique partes padrão (harmônica, geométrica) e use linearidade + comparação; isso resolve muitas séries.

Resposta

Divergente

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