J) Determine se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente:
4.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4 n}
4.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4 n}
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para determinar se essa série é convergente ou divergente.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O termo geral da série é
para . - A questão é apenas decidir convergência ou divergência (não pede soma).
Passo 2
Uma observação útil e simples: a constante
pode ser tirada fora da soma. Escrevemos
Regra usada (explicação): se
é uma sequência e
é constante, então os somatórios parciais satisfazem
. Portanto multiplicar por constante não transforma uma série convergente em divergente (se
) nem vice-versa — a convergência ou divergência permanece a mesma, apenas a soma (se existir) é escalada por
.
Passo 3
Logo, basta analisar a série harmônica
Vou mostrar que essa série diverge usando o Teste da Integral (explicando o teste): se
é positiva, contínua e decrescente para
, então a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge. Aqui podemos tomar
, que é positiva, contínua e decrescente em
. Calculamos a integral:
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral a série harmônica
também diverge.
Passo 4
Voltando à série original, como
e a série à direita diverge, a série original também diverge (multiplicação por
não muda o fato de divergir).
Passo 5
Uma intuição rápida e alternativa (sem integral): agrupar termos da harmônica mostra que as somas parciais crescem sem limite:
ou seja, a soma é maior do que uma soma infinita de
s e por isso diverge. Isso reforça a conclusão acima.
Resposta
Divergente.