J) Determine se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente:
4.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4 n}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n}
e pede para determinar se essa série é convergente ou divergente.
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral da série é \dfrac{1}{4n} para n=1,2,3,\dots.
  • A questão é apenas decidir convergência ou divergência (não pede soma).

Passo 2

Uma observação útil e simples: a constante \dfrac{1}{4} pode ser tirada fora da soma. Escrevemos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n}=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
Regra usada (explicação): se (a_n) é uma sequência e c é constante, então os somatórios parciais satisfazem S_N(ca_n)=cS_N(a_n). Portanto multiplicar por constante não transforma uma série convergente em divergente (se c\neq0) nem vice-versa — a convergência ou divergência permanece a mesma, apenas a soma (se existir) é escalada por c.

Passo 3

Logo, basta analisar a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
Vou mostrar que essa série diverge usando o Teste da Integral (explicando o teste): se f(x) é positiva, contínua e decrescente para x\ge1, então a série \sum_{n=1}^{\infty} f(n) converge se, e somente se, a integral imprópria \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge. Aqui podemos tomar f(x)=\dfrac{1}{x}, que é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty). Calculamos a integral:
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx=\lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t}\frac{1}{x}\,dx=\lim_{t\to\infty}\bigl[\ln x\bigr]_{1}^{t}=\lim_{t\to\infty}\ln t=\infty.
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} também diverge.

Passo 4

Voltando à série original, como
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n}=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
e a série à direita diverge, a série original também diverge (multiplicação por \dfrac{1}{4} não muda o fato de divergir).

Passo 5

Uma intuição rápida e alternativa (sem integral): agrupar termos da harmônica mostra que as somas parciais crescem sem limite:
1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\right)+\cdots \ge 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots,
ou seja, a soma é maior do que uma soma infinita de \tfrac{1}{2}s e por isso diverge. Isso reforça a conclusão acima.

Resposta

Divergente.

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