1. J(v)=\left(v^{3}-2 v\right)\left(v^{-4}+v^{-2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a expressão
J(v)=\left(v^{3}-2 v\right)\left(v^{-4}+v^{-2}\right)
e pede que a gente simplifique essa expressão algébrica. Informações relevantes que já estão no enunciado:
  • A expressão é um produto entre dois parênteses.
  • Existem expoentes negativos ( v^{-4}, v^{-2}), portanto a expressão só está definida para v\neq0.
    A partir daqui vamos expandir, simplificar e, se possível, reescrever sem expoentes negativos.

Passo 2

Relembrando regras de potências que vamos usar (aquelas que são essenciais e simples):
  • Regra do produto de potências com mesma base: a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}, onde a é a base e m,n são expoentes.
  • Expoente negativo: a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}.
Exemplos rápidos para fixar:
  • v^{3}\cdot v^{-4}=v^{3+(-4)}=v^{-1},
  • v^{3}\cdot v^{-2}=v^{3+(-2)}=v^{1}=v.
Essas identidades são justamente o que vamos aplicar ao multiplicar termo a termo.

Passo 3

Vamos aplicar a propriedade distributiva (multiplicar cada termo do primeiro parêntese por cada termo do segundo). Os quatro produtos são:
v^{3}\cdot v^{-4}=v^{3+(-4)}=v^{-1},
v^{3}\cdot v^{-2}=v^{3+(-2)}=v,
(-2v)\cdot v^{-4}=-2\,v^{1+(-4)}=-2\,v^{-3},
(-2v)\cdot v^{-2}=-2\,v^{1+(-2)}=-2\,v^{-1}.

Passo 4

Somando os quatro termos obtidos temos
J(v)=v^{-1}+v-2v^{-3}-2v^{-1}.
Agora combinamos os termos semelhantes (aqueles com a mesma potência de v): os dois termos com v^{-1} são v^{-1} e -2v^{-1}. Então
v^{-1}-2v^{-1}=-v^{-1}.
Portanto a expressão simplificada fica
J(v)=v - v^{-1} - 2v^{-3}.

Passo 5

Se quisermos escrever sem expoentes negativos, usamos a regra v^{-n}=\dfrac{1}{v^{n}}. Assim
J(v)=v-\frac{1}{v}-\frac{2}{v^{3}},
válido para v\neq0.

Passo 6

Uma forma alternativa e muitas vezes mais elegante é fatorar um fator comum. Note que todos os termos têm pelo menos v^{-3} como fator comum, porque
v = v^{-3}\cdot v^{4},\quad -v^{-1}=v^{-3}\cdot(-v^{2}),\quad -2v^{-3}=v^{-3}\cdot(-2).
Fatorando v^{-3} obtemos
J(v)=v^{-3}\bigl(v^{4}-v^{2}-2\bigr).
Agora fazendo a substituição auxiliar u=v^{2} (para fatorar o polinômio em v^{2}):
v^{4}-v^{2}-2 = u^{2}-u-2 = (u-2)(u+1).
Voltando a v:
v^{4}-v^{2}-2=(v^{2}-2)(v^{2}+1).
Portanto
J(v)=v^{-3}(v^{2}-2)(v^{2}+1).
Escrevendo sem expoentes negativos:
J(v)=\frac{(v^{2}-2)(v^{2}+1)}{v^{3}},\qquad v\neq0.

Passo 7

Cheque rápido com um valor numérico (só para nos dar confiança): para v=1,
  • expressão original: (1^{3}-2\cdot1)(1^{-4}+1^{-2})=(1-2)(1+1)=-1\cdot2=-2,
  • nossa forma final: \dfrac{(1^{2}-2)(1^{2}+1)}{1^{3}}=\dfrac{(-1)\cdot2}{1}=-2.
    Confere — ótimo!

Resposta

\dfrac{(v^{2}-2)(v^{2}+1)}{v^{3}}

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