Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede que a gente simplifique essa expressão algébrica. Informações relevantes que já estão no enunciado:
- A expressão é um produto entre dois parênteses.
- Existem expoentes negativos (
, ), portanto a expressão só está definida para .
A partir daqui vamos expandir, simplificar e, se possível, reescrever sem expoentes negativos.
Passo 2
Relembrando regras de potências que vamos usar (aquelas que são essenciais e simples):
- Regra do produto de potências com mesma base:
onde é a base e são expoentes. - Expoente negativo:
Exemplos rápidos para fixar:
Essas identidades são justamente o que vamos aplicar ao multiplicar termo a termo.
Passo 3
Vamos aplicar a propriedade distributiva (multiplicar cada termo do primeiro parêntese por cada termo do segundo). Os quatro produtos são:
Passo 4
Somando os quatro termos obtidos temos
Agora combinamos os termos semelhantes (aqueles com a mesma potência de
): os dois termos com
são
e
. Então
Portanto a expressão simplificada fica
Passo 5
Se quisermos escrever sem expoentes negativos, usamos a regra
. Assim
válido para
.
Passo 6
Uma forma alternativa e muitas vezes mais elegante é fatorar um fator comum. Note que todos os termos têm pelo menos
como fator comum, porque
Fatorando
obtemos
Agora fazendo a substituição auxiliar
(para fatorar o polinômio em
):
Voltando a
:
Portanto
Escrevendo sem expoentes negativos:
Passo 7
Cheque rápido com um valor numérico (só para nos dar confiança): para
,
- expressão original:
, - nossa forma final:
.
Confere — ótimo!