Passo 1
Enunciado: a função é
.
O que o enunciado pede (supondo a versão mais comum desse tipo de questão): calcular a derivada de em relação a
, ou seja, encontrar
.
Informações dadas: a expressão da função em termos de composições sucessivas da função seno.
O que o enunciado pede (supondo a versão mais comum desse tipo de questão): calcular a derivada de
Informações dadas: a expressão da função em termos de composições sucessivas da função seno.
Passo 2
Conceito que vamos usar: regra da cadeia. Vou explicar com calma. A regra da cadeia diz como derivar uma função composta. Se tivermos uma função composta de duas camadas, digamos
, então a derivada é
Aqui
é a derivada da função externa
avaliada no ponto
, e
é a derivada da função interna
em
. Em palavras: derivo a função de fora mantendo a parte de dentro como está, e multiplico pela derivada da parte de dentro.
Passo 3
Generalização para três composições: se
podemos aplicar a regra da cadeia em duas etapas ou diretamente:
Ou seja, multiplica-se as derivadas de cada camada, avaliando cada derivada na sua respectiva entrada (a saída da camada interior).
Passo 4
Outro conceito importante aqui: a derivada de
é
. Vou justificar por intuição e lembrar a fórmula: por definição (ou por resultados clássicos de cálculo),
Significado: a taxa de variação instantânea do seno é o cosseno. Na prática em provas, você usa essa regra conhecida sem ter que derivar do limite toda vez.
Passo 5
Agora aplicamos isso à nossa função, que tem três camadas de seno. Para organizar, definimos variáveis intermediárias:
Assim
é
de
,
é
de
, e
é
de
.
Passo 6
Calculamos as derivadas das camadas (cada uma é um seno, então a derivada é cosseno):
Pelo raciocínio da regra da cadeia para três camadas, multiplicamos:
Passo 7
Substituindo as expressões que achamos:
Agora voltamos às definições de
e
:
e
. Portanto substituímos:
Passo 8
Interpretação final e dicas para a prova: a derivada ficou como produto de três cossenos, cada um avaliado numa camada diferente. Em prova, ao ver
já pense em definir as camadas e aplicar a regra da cadeia multiplicando as derivadas de fora para dentro. Não esqueça de re-substituir as variáveis intermediárias no final.