1. y=\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(\operatorname{sen} x))

Passo 1

Enunciado: a função é y=\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(\operatorname{sen} x)).
O que o enunciado pede (supondo a versão mais comum desse tipo de questão): calcular a derivada de y em relação a x, ou seja, encontrar \dfrac{dy}{dx}.
Informações dadas: a expressão da função em termos de composições sucessivas da função seno.

Passo 2

Conceito que vamos usar: regra da cadeia. Vou explicar com calma. A regra da cadeia diz como derivar uma função composta. Se tivermos uma função composta de duas camadas, digamos y=f(g(x)), então a derivada é
\dfrac{dy}{dx}=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Aqui f' é a derivada da função externa f avaliada no ponto g(x), e g' é a derivada da função interna g em x. Em palavras: derivo a função de fora mantendo a parte de dentro como está, e multiplico pela derivada da parte de dentro.

Passo 3

Generalização para três composições: se y=f(h(g(x))) podemos aplicar a regra da cadeia em duas etapas ou diretamente:
\dfrac{dy}{dx}=f'\big(h(g(x))\big)\cdot h'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Ou seja, multiplica-se as derivadas de cada camada, avaliando cada derivada na sua respectiva entrada (a saída da camada interior).

Passo 4

Outro conceito importante aqui: a derivada de \operatorname{sen} x é \cos x. Vou justificar por intuição e lembrar a fórmula: por definição (ou por resultados clássicos de cálculo),
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen} x\big)=\cos x.
Significado: a taxa de variação instantânea do seno é o cosseno. Na prática em provas, você usa essa regra conhecida sem ter que derivar do limite toda vez.

Passo 5

Agora aplicamos isso à nossa função, que tem três camadas de seno. Para organizar, definimos variáveis intermediárias:
u=\operatorname{sen} x,
v=\operatorname{sen} u=\operatorname{sen}(\operatorname{sen} x),
y=\operatorname{sen} v=\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(\operatorname{sen} x)).
Assim y é \operatorname{sen} de v, v é \operatorname{sen} de u, e u é \operatorname{sen} de x.

Passo 6

Calculamos as derivadas das camadas (cada uma é um seno, então a derivada é cosseno):
\frac{du}{dx}=\cos x,
\frac{dv}{du}=\cos u,
\frac{dy}{dv}=\cos v.
Pelo raciocínio da regra da cadeia para três camadas, multiplicamos:
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dv}\cdot\frac{dv}{du}\cdot\frac{du}{dx}.

Passo 7

Substituindo as expressões que achamos:
\frac{dy}{dx}=\cos v\cdot\cos u\cdot\cos x.
Agora voltamos às definições de u e v: u=\operatorname{sen} x e v=\operatorname{sen} u=\operatorname{sen}(\operatorname{sen} x). Portanto substituímos:
\frac{dy}{dx}=\cos\big(\operatorname{sen}(\operatorname{sen} x)\big)\cdot\cos\big(\operatorname{sen} x\big)\cdot\cos x.

Passo 8

Interpretação final e dicas para a prova: a derivada ficou como produto de três cossenos, cada um avaliado numa camada diferente. Em prova, ao ver \operatorname{sen}(\operatorname{sen}(\operatorname{sen} x)) já pense em definir as camadas e aplicar a regra da cadeia multiplicando as derivadas de fora para dentro. Não esqueça de re-substituir as variáveis intermediárias no final.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\cos\big(\operatorname{sen}(\operatorname{sen} x)\big)\cdot\cos\big(\operatorname{sen} x\big)\cdot\cos x

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