Deseja-se fabricar uma caixa (com tampa) de base quadrada, de lado x \mathrm{~cm}, e altura y cm, cujo volume deve ser igual a 2250 \mathrm{~cm}^{3}. O custo do material da base e da tampa é de \mathrm{R} \$\(2,00 por\)\mathrm{cm}^{2}\(, e o custo das laterais é de\)\mathrm{R} \$3,00\( por \)\mathrm{cm}^{2}.
a) Mostre que, para x>0, o custo total de fabricação da caixa é dado por C(x)=4 x^{2}+\frac{27000}{x}.
b) Determine C^{\prime}(x) e o ponto crítico de C(x).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) mostrar que, para \,x>0, o custo total é dado por uma certa função C(x); (b) determinar C'(x) e o ponto crítico de C(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A base é quadrada de lado \,x cm e a altura é \,y cm.
  • O volume deve ser \,2250\\ \mathrm{cm}^3.
  • Custo do material da base e da tampa: \,\mathrm{R}\$\,2{,}00 por \mathrm{cm}^2.
  • Custo do material das quatro laterais: \,\mathrm{R}\$\,3{,}00 por \mathrm{cm}^2.
  • Precisamos expressar o custo total em função de \,x (assumindo \,x>0), obter a derivada C'(x) e encontrar o(s) ponto(s) crítico(s).

Passo 2

Primeiro usamos a condição do volume para relacionar \,y e \,x. O volume de uma caixa de base quadrada é área da base vezes altura. A área da base é \,x^2, logo
x^2 y = 2250.
Isolando \,y obtemos
y=\frac{2250}{x^2}.
Aqui \,x>0 garante que essa expressão faz sentido (não dividimos por zero).

Passo 3

Agora vamos identificar as áreas das partes da caixa, pois o custo é dado por área vezes preço por unidade de área.
  • A base tem área \,x^2.
  • A tampa tem área \,x^2.
  • Cada lateral é um retângulo de base \,x e altura \,y, portanto cada lateral tem área \,x y. Como há 4 laterais, a área total das laterais é \,4 x y.
Resumindo:
  • Área total base + tampa = \,2x^2.
  • Área total das laterais = \,4xy.

Passo 4

Calculemos os custos usando os preços dados.
Custo da base e da tampa: preço \,\mathrm{R}\$\,2{,}00 por \mathrm{cm}^2 aplicado à área \,2x^2. Portanto
\text{Custo}_{\text{base+tampa}} = 2 \cdot (2x^2) = 4x^2.
Custo das laterais: preço \,\mathrm{R}\$\,3{,}00 por \mathrm{cm}^2 aplicado à área \,4xy. Portanto
\text{Custo}_{\text{laterais}} = 3 \cdot (4xy) = 12xy.
Somando os dois componentes, o custo total é
C(x)=4x^2+12xy.
Agora substituímos \,y que encontramos no Passo 2, \,y=\dfrac{2250}{x^2}. Assim
C(x)=4x^2+12x\left(\frac{2250}{x^2}\right).
Simplificando o segundo termo:
12x\left(\frac{2250}{x^2}\right)=\frac{12\cdot2250}{x}=\frac{27000}{x}.
Portanto, para \,x>0,
C(x)=4x^{2}+\frac{27000}{x}.
Isto completa a parte (a).

Passo 5

Agora vamos derivar C(x). Lembre das regras básicas:
  • Derivada de \,x^n é \,n x^{n-1} (regra do poder).
  • Podemos reescrever \dfrac{27000}{x} como 27000 x^{-1} e aplicar a regra do poder também.
Escrevendo
C(x)=4x^{2}+27000 x^{-1},
a derivada é
C'(x)=4\cdot 2 x^{1}+27000\cdot(-1)x^{-2}.
Simplificando:
C'(x)=8x-\frac{27000}{x^{2}}.

Passo 6

Para encontrar pontos críticos resolvemos C'(x)=0. Igualando a derivada a zero:
8x-\frac{27000}{x^{2}}=0.
Passos para resolver: somamos \dfrac{27000}{x^{2}} em ambos os lados:
8x=\frac{27000}{x^{2}}.
Multiplicamos ambos os lados por x^{2} (válido porque x>0):
8x^{3}=27000.
Isolando x^{3}:
x^{3}=\frac{27000}{8}=3375.
Agora tiramos a raiz cúbica:
x=\sqrt[3]{3375}.
Observando que 3375=15^{3} (porque 15^3=3375), concluímos
x=15\\ \text{cm}.
Este é o ponto crítico relevante (único para x>0). Como curiosidade rápida (útil na prova): para x\to0^+ o termo \dfrac{27000}{x} domina e C(x)\to+\infty; para x\to+\infty o termo 4x^2 domina e C(x)\to+\infty. Assim o ponto crítico x=15 corresponde a um mínimo global do custo, mas como o enunciado pediu somente o ponto crítico, já cumprimos a tarefa.

Resposta

a) C(x)=4x^{2}+\dfrac{27000}{x}.
b) C'(x)=8x-\dfrac{27000}{x^{2}}. Ponto crítico: x=15 cm.

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