Deseja-se fabricar uma caixa (com tampa) de base quadrada, de lado
, e altura
cm, cujo volume deve ser igual a
. O custo do material da base e da tampa é de
.
a) Mostre que, para
, o custo total de fabricação da caixa é dado por
.
b) Determine
e o ponto crítico de
.
a) Mostre que, para
b) Determine
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) mostrar que, para
, o custo total é dado por uma certa função
; (b) determinar
e o ponto crítico de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A base é quadrada de lado
cm e a altura é cm. - O volume deve ser
. - Custo do material da base e da tampa:
por . - Custo do material das quatro laterais:
por . - Precisamos expressar o custo total em função de
(assumindo ), obter a derivada e encontrar o(s) ponto(s) crítico(s).
Passo 2
Primeiro usamos a condição do volume para relacionar
e
. O volume de uma caixa de base quadrada é área da base vezes altura. A área da base é
, logo
Isolando
obtemos
Aqui
garante que essa expressão faz sentido (não dividimos por zero).
Passo 3
Agora vamos identificar as áreas das partes da caixa, pois o custo é dado por área vezes preço por unidade de área.
- A base tem área
. - A tampa tem área
. - Cada lateral é um retângulo de base
e altura , portanto cada lateral tem área . Como há 4 laterais, a área total das laterais é .
Resumindo:
- Área total base + tampa =
. - Área total das laterais =
.
Passo 4
Calculemos os custos usando os preços dados.
Custo da base e da tampa: preço
por
aplicado à área
. Portanto
Custo das laterais: preço
por
aplicado à área
. Portanto
Somando os dois componentes, o custo total é
Agora substituímos
que encontramos no Passo 2,
. Assim
Simplificando o segundo termo:
Portanto, para
,
Isto completa a parte (a).
Passo 5
Agora vamos derivar
. Lembre das regras básicas:
- Derivada de
é (regra do poder). - Podemos reescrever
como e aplicar a regra do poder também.
Escrevendo
a derivada é
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar pontos críticos resolvemos
. Igualando a derivada a zero:
Passos para resolver: somamos
em ambos os lados:
Multiplicamos ambos os lados por
(válido porque
):
Isolando
:
Agora tiramos a raiz cúbica:
Observando que
(porque
), concluímos
Este é o ponto crítico relevante (único para
). Como curiosidade rápida (útil na prova): para
o termo
domina e
; para
o termo
domina e
. Assim o ponto crítico
corresponde a um mínimo global do custo, mas como o enunciado pediu somente o ponto crítico, já cumprimos a tarefa.
Resposta
a)
b) . Ponto crítico:
cm.
b)