J35 - FENÔMENOS DE TRANSPORTE 1 (2020/2)

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(Modificado de Prova para Analista de Saneamento, Companhia Pernambucana de Saneamento - Engenheiro Quimico) Considere o escoamento incompressivel da água \left(\mu=1,0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{-1} \cdot \mathrm{~s}^{-1}\right. e \left.\rho=1000 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{-3}\right), em regime permanente e laminar, em um tubo circular horizontal de 2 cm de diâmetro, a uma velocidade média de 0,025 \mathrm{~m} . \mathrm{s}^{-1}.

Passo 1

O enunciado dado é curto e (aparentemente) incompleto: ele informa propriedades do fluido e condições do escoamento, mas não faz uma pergunta explícita. Vou listar primeiro o que o enunciado fornece (dados) e o que deveria perguntar (possíveis perguntas típicas).
Dados fornecidos:
\mu = 1,0\times10^{-3}\\ \mathrm{kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}}
\rho = 1000\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}
D = 2\\ \mathrm{cm} = 0,02\\ \mathrm{m}
U_m = 0,025\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}\quad(\text{velocidade média})é
escoamento incompressível, permanente e laminar (a própria frase afirma “laminar”, mas sempre checamos com o número de Reynolds).
O enunciado não pergunta nada explicitamente. Perguntas típicas que professores costumam pedir nesse contexto (vou resolvê‑las porque são as mais usuais e úteis para a prova):
  • Calcular o número de Reynolds e confirmar que o escoamento é laminar.
  • Calcular a vazão volumétrica Q.
  • Obter o perfil de velocidade e a velocidade máxima U_{\max}.
  • Calcular a tensão de cisalhamento na parede \tau_w.
  • Calcular a perda de pressão por comprimento \mathrm{d}p/\mathrm{d}x (ou \Delta p / L).
  • Calcular o fator de atrito de Darcy f para escoamento laminar.
Vou resolver passo a passo essas quantidades — elas cobrem o que normalmente é pedido numa prova de Fenômenos de Transporte.

Passo 2

Qual método e por que começar por ali?
Regra prática: primeiro sempre calcular o número de Reynolds porque ele diz o regime (laminar/turbulento) e qual teoria usar. Se for laminar num tubo circular, usamos a solução de Poiseuille (perfil parabólico, relações conhecidas para \tau_w, \Delta p/L, f, etc.). Vou então:
  1. Calcular \mathrm{Re}.
  2. Se laminar, usar fórmulas de escoamento de Poiseuille para as demais quantidades.
Vou explicar cada fórmula antes de usá‑la, com o que cada símbolo significa.

Passo 3

Cálculo do número de Reynolds — definição e conta passo a passo.
Definição: o número de Reynolds em um tubo é
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,U_m\,D}{\mu},
onde \rho é a densidade do fluido, U_m a velocidade média no tubo, D o diâmetro e \mu a viscosidade dinâmica.
Substituindo os valores dados:
\mathrm{Re}=\frac{1000\cdot 0,025\cdot 0,02}{1,0\times10^{-3}}.
Calcule passo a passo:
1000\cdot 0,025 = 25,
25\cdot 0,02 = 0,5,
\mathrm{Re}=\frac{0,5}{1,0\times10^{-3}}=500.
Interpretação: para escoamento em tubos, a regra prática é que o escoamento é laminar se \mathrm{Re}\lesssim 2300. Como \mathrm{Re}=500, confirmamos que o escoamento é laminar (coerente com o enunciado).

Passo 4

Vazão volumétrica Q, área e velocidade máxima U_{\max} — fórmulas e cálculos.
Área da seção transversal do tubo (círculo):
A=\pi R^2=\pi\left(\frac{D}{2}\right)^2.
Aqui D=0,02\\ \mathrm{m}, então R=0,01\\ \mathrm{m}. Logo
A=\pi (0,01)^2=\pi\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{m^2}\approx 3{,}1416\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
Vazão volumétrica a partir da velocidade média:
Q = U_m \, A.
Substituindo:
Q = 0,025 \cdot \pi\cdot 10^{-4} = \pi \cdot 2{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m^3/s}\approx 7{,}85\times10^{-6}\\ \mathrm{m^3/s}.
Perfil de velocidade (Poiseuille) e velocidade máxima:
Para escoamento laminar e permanente em tubo circular, o perfil é parabólico:
u(r)=U_{\max}\left(1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right),
onde r é a coordenada radial ( r=0 centro, r=R parede) e U_{\max} é a velocidade no centro. A relação média‑máxima é
U_{\max} = 2\,U_m.
Portanto
U_{\max} = 2\cdot 0,025 = 0,05\\ \mathrm{m/s}.
Exemplo numérico (para “ver” o perfil): no ponto r=R/2 temos
u\!\left(\tfrac{R}{2}\right)=0,05\left(1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^2\right)=0,05(1-0,25)=0,0375\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Tensão de cisalhamento na parede \tau_w — definição, derivação rápida e cálculo.
Definição geral:
\tau_w = \mu\left.\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r}\right|_{r=R}.
Para o perfil parabólico u(r)=U_{\max}\big(1-(r/R)^2\big),
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r} = -2\,U_{\max}\frac{r}{R^2},
portanto em r=R:
\left.\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r}\right|_{r=R} = -\frac{2U_{\max}}{R}.
Tomando o valor absoluto para a magnitude da tensão:
\tau_w = \mu\frac{2U_{\max}}{R}.
Usando U_{\max}=2U_m obtemos outra forma útil:
\tau_w = \frac{4\mu U_m}{R} = \frac{8\mu U_m}{D}.
Agora o cálculo numérico (usando a forma com R):
\tau_w = \frac{4\cdot(1{,}0\times10^{-3})\cdot 0{,}025}{0{,}01}.
Passo a passo:
1{,}0\times10^{-3}\cdot 0{,}025 = 2{,}5\times10^{-5},
4\cdot 2{,}5\times10^{-5} = 1{,}0\times10^{-4},
\tau_w = \frac{1{,}0\times10^{-4}}{0{,}01} = 0{,}01\\ \mathrm{Pa}.
Portanto a tensão de cisalhamento na parede é \tau_w = 0{,}01\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Perda de pressão por unidade de comprimento \mathrm{d}p/\mathrm{d}x (ou \Delta p/L) — fórmula e cálculo.
Relação entre \tau_w e gradiente de pressão: para escoamento totalmente desenvolvido em tubo circular
\tau_w = -\frac{R}{2}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}.
Desse modo
\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = -\frac{2\tau_w}{R}.
Usando \tau_w = 0{,}01\\ \mathrm{Pa} e R=0{,}01\\ \mathrm{m}:
\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = -\frac{2\cdot 0{,}01}{0{,}01} = -2\\ \mathrm{Pa/m}.
Sinal negativo indica queda de pressão no sentido do escoamento. Em módulo, a perda de pressão é 2\\ \mathrm{Pa} por metro.
Forma clássica (Poiseuille) também diz:
\frac{\Delta p}{L} = \frac{32\mu U_m}{D^2},
verificação numérica:
\frac{\Delta p}{L}=\frac{32\cdot 1{,}0\times10^{-3}\cdot 0{,}025}{(0{,}02)^2}=\frac{8{,}0\times10^{-4}}{4{,}0\times10^{-4}}=2\\ \mathrm{Pa/m},
coerente com o resultado acima.

Passo 7

Fator de atrito de Darcy f para escoamento laminar e verificação com Darcy–Weisbach.
Para escoamento laminar em tubo circular a fórmula bem conhecida é
f=\frac{64}{\mathrm{Re}},
onde f é o fator de atrito de Darcy (usado na fórmula de Darcy–Weisbach \Delta p/L = f\cdot \frac{\rho U_m^2}{2D}).
Calcule:
f=\frac{64}{500}=0{,}128.
Verificação usando Darcy–Weisbach:
\frac{\Delta p}{L} = f\frac{\rho U_m^2}{2D} = 0{,}128\cdot\frac{1000\cdot (0{,}025)^2}{2\cdot 0{,}02}.
Calcule passo a passo:
1000\cdot (0{,}025)^2 = 1000\cdot 0{,}000625 = 0{,}625,
0{,}128\cdot 0{,}625 = 0{,}08,
\frac{0{,}08}{2\cdot 0{,}02} = \frac{0{,}08}{0{,}04} = 2\\ \mathrm{Pa/m},
coincidindo com o valor obtido anteriormente. Boa checagem!

Passo 8

Resumo final dos resultados úteis (já prontos para a prova) e dicas rápidas de como apresentar no caderno:
  • Sempre comece calculando \mathrm{Re}. Se \mathrm{Re}<2300 use Poiseuille (perfil parabólico).
  • Anote unidades corretamente e mostre os passos (multiplicações intermediárias), isso ajuda o corretor a seguir seu raciocínio.
  • Se pedirem perda de carga em m de coluna de água, converta \Delta p=\rho g h para obter h=\Delta p/(\rho g). Neste caso \Delta p/L=2\\ \mathrm{Pa/m} corresponderia a h/L = 2/(1000\cdot 9{,}81)\approx 2,04\times10^{-4}\\ \mathrm{m\\ of\\ water\\ per\\ meter}.

Resposta

\mathrm{Re}=500 (escoamento laminar).
Q\approx 7{,}85\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^3/s}.
U_{\max}=0{,}05\\ \mathrm{m/s}.
\tau_w=0{,}01\\ \mathrm{Pa}.
\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=-2\\ \mathrm{Pa/m} (queda de pressão; módulo 2\\ \mathrm{Pa/m}).
f=\dfrac{64}{\mathrm{Re}}=0{,}128.

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