Um jato de água atinge a superficie de um lago vindo de um cano horizontal a 2 m acima do nível d’água, com velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual a profundidade máxima atingida pelo jato na água, supondo que penetra verticalmente? Resposta: 7,1 m

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede a profundidade máxima atingida pelo jato:
  • Altura do cano acima do nível d’água: 2\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade do jato ao sair do cano: 10\\ \mathrm{m/s}.
  • Suposição: o jato penetra verticalmente no lago (ou seja, ao entrar ele segue uma linha que podemos tratar como uma mesma linha de corrente até o ponto de parada).
    O que se quer: a profundidade máxima y (em metros) que o jato alcança dentro da água.

Passo 2

Vamos usar a conservação de energia para um elemento de fluido (a forma de Bernoulli). A equação de Bernoulli, escrita em termos de energia por unidade de massa, é:
\frac{p}{\rho}+\frac{v^{2}}{2}+g z=\text{constante}
onde:
  • p é a pressão absoluta no ponto (em \mathrm{Pa}),
  • \rho é a massa específica da água (corta-se \rho depois, não precisamos do valor numérico),
  • v é a velocidade do fluido no ponto (em \mathrm{m/s}),
  • g é a aceleração da gravidade (usaremos g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}),
  • z é a cota vertical do ponto (em metros), escolharemos z=0 na superfície do lago, para ficar simples.
Explicando à moda de amigo: a equação diz que a soma da “pressão por massa”, “energia cinética por massa” e “energia potencial por massa” é a mesma ao longo de uma mesma linha de corrente, se desprezarmos perdas por atrito e considerarmos escoamento estacionário e incompressível.

Passo 3

Escolhemos dois pontos na mesma linha de corrente do jato:
  • Ponto 1: no jato, imediatamente antes de entrar na água. Neste ponto:
    • pressão p_1 = p_{\text{atm}} (pressão atmosférica),
    • velocidade v_1 = 10\\ \mathrm{m/s},
    • cota z_1 = 2\\ \mathrm{m} (o cano está 2 m acima da superfície).
  • Ponto 2: ponto de parada máxima do jato dentro da água (ponto de estagnação). Neste ponto:
    • velocidade v_2 = 0 (o jato foi frenado),
    • pressão p_2 = p_{\text{atm}} + \rho g y (pressão absoluta em profundidade y abaixo da superfície),
    • cota z_2 = 0 se tomarmos a superfície como referência e medirmos y abaixo dela.
Aplicando Bernoulli entre 1 e 2:
\frac{p_1}{\rho}+\frac{v_1^{2}}{2}+g z_1=\frac{p_2}{\rho}+\frac{v_2^{2}}{2}+g z_2.
Substituindo p_1=p_{\text{atm}}, v_1=v, z_1=2, p_2=p_{\text{atm}}+\rho g y, v_2=0, z_2=0:
\frac{p_{\text{atm}}}{\rho}+\frac{v^{2}}{2}+g\cdot 2=\frac{p_{\text{atm}}+\rho g y}{\rho}+0+g\cdot 0.
O termo \dfrac{p_{\text{atm}}}{\rho} cancela dos dois lados, sobrando:
\frac{v^{2}}{2}+2g=g y.
Isolando y:
y=2+\frac{v^{2}}{2g}.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro o termo cinético:
\frac{v^{2}}{2g}=\frac{(10)^{2}}{2\cdot 9,8}=\frac{100}{19,6}=5,1020408\ldots\\ \mathrm{m}.
Somando a altura inicial de 2\\ \mathrm{m}:
y=2+5,1020408\ldots=7,1020408\ldots\\ \mathrm{m}.
Arredondando com a precisão pedida (duas casas típicas): y\approx 7,1\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Interpretação física curta e motivadora: o jato traz energia cinética ( v^{2}/2) e energia potencial ( g\cdot 2) por unidade de massa; quando ele é completamente parado dentro da água essa energia é convertida em aumento de pressão capaz de suportar a coluna de água até a profundidade y. É como usar a velocidade e a altura inicial para “empurrar” a água para baixo — faz sentido e bate com o resultado esperado de 7,1\\ \mathrm{m}. Força extra: você já dominou a aplicação prática da equação de Bernoulli — ótimo passo!

Resposta

7,1 m

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