Quando água é bombeada através de uma tubulação A, posicionada na horizontal, com uma vazão de 0,20 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, a queda de pressão é de 60 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}. Quando água é bombeada através de uma tubulação B, também na horizontal, com uma vazão de 0,15 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, a queda de pressão é de 50 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}. Com base nessas informações, determine a queda de pressão que ocorre quando a vazão de 0,17 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de água é bombeada através das duas tubulações, se elas são conectadas em série. Despreze perdas de carga localizadas e as cargas de energia cinética. Use a fórmula de Darcy-Weisbach.

Passo 1

O enunciado dá duas medições de queda de pressão para duas tubulações A e B, ambas horizontais. Quero listar claramente o que foi dado e o que se pede.
  • Dados para a tubulação A:
    • Vazão Q_A=0,20\\ \mathrm{m^{3}/s}.
    • Queda de pressão observada \Delta p_A=60\\ \mathrm{kN/m^{2}} = 60000\\ \mathrm{Pa}.
  • Dados para a tubulação B:
    • Vazão Q_B=0,15\\ \mathrm{m^{3}/s}.
    • Queda de pressão observada \Delta p_B=50\\ \mathrm{kN/m^{2}} = 50000\\ \mathrm{Pa}.
  • Pedido:
    • Determinar a queda de pressão total \Delta p_{\text{total}} quando uma vazão Q=0,17\\ \mathrm{m^{3}/s} percorre as duas tubulações conectadas em série.
    • Observações do enunciado que serão usadas: desprezar perdas localizadas e energia cinética; usar a fórmula de Darcy–Weisbach.

Passo 2

Apresentar a fórmula de Darcy–Weisbach e entender a dependência da queda de pressão com a vazão.
A perda de carga (altura de carga) segundo Darcy–Weisbach é
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g},
onde
  • h_f é a perda de carga (altura de energia) em metros;
  • f é o coeficiente de atrito de Darcy (adimensional);
  • L é o comprimento da tubulação (m);
  • D é o diâmetro interno da tubulação (m);
  • V é a velocidade média do fluido na tubulação (m/s);
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
A queda de pressão \Delta p está relacionada com h_f por
\Delta p = \rho g h_f,
onde \rho é a densidade da água (aprox. 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}). Substituindo h_f,
\Delta p = \frac{1}{2}\,\rho\,f\,\frac{L}{D}\,V^{2}.
Repare que, para uma tubulação fixa (mesmo f, L e D), \Delta p é proporcional a V^{2}. Como a vazão Q e a velocidade V estão relacionadas por V=Q/A (com A área da secção), conclui-se que, para cada tubulação fixa,
\Delta p = K\,Q^{2},
onde K é uma constante que depende de \rho, f, L/D e da área A da tubulação. Aqui adotamos a hipótese padrão nesta classe de problemas: para a faixa de vazões consideradas, f e as dimensões não mudam, então vale \Delta p \propto Q^{2}.

Passo 3

Determinar as constantes K_A e K_B das duas tubulações a partir das medições dadas.
Definimos
\Delta p_A = K_A\,Q_A^{2},\qquad \Delta p_B = K_B\,Q_B^{2}.
Calcular K_A:
K_A=\frac{\Delta p_A}{Q_A^{2}}=\frac{60000}{(0,20)^{2}}=\frac{60000}{0,04}=1500000\\ \mathrm{Pa\cdot (s/m^{3})^{2}}.
Calcular K_B:
K_B=\frac{\Delta p_B}{Q_B^{2}}=\frac{50000}{(0,15)^{2}}=\frac{50000}{0,0225}=\frac{50000}{9/400}= \frac{50000\cdot400}{9}=\frac{20000000}{9}\approx2222222{,}22\\ \mathrm{Pa\cdot (s/m^{3})^{2}}.

Passo 4

Para tubulações em série a mesma vazão Q percorre ambas e as quedas de pressão somam:
\Delta p_{\text{total}}=\Delta p_A(Q)+\Delta p_B(Q)=K_A Q^{2}+K_B Q^{2}=(K_A+K_B)Q^{2}.
Calcular K_A+K_B:
K_A+K_B = 1500000 + \frac{20000000}{9} = \frac{13500000+20000000}{9}=\frac{33500000}{9}\\ \mathrm{Pa\cdot (s/m^{3})^{2}}.
Agora usar Q=0,17\\ \mathrm{m^{3}/s}. Primeiro Q^{2}=(0,17)^{2}=0,0289.
Calcular \Delta p_{\text{total}}:
\Delta p_{\text{total}} = \frac{33500000}{9}\times 0,0289 \approx 107572{,}22\\ \mathrm{Pa}.
Converter para \mathrm{kN/m^{2}} (1 kN/m^{2} = 1000 Pa):
\Delta p_{\text{total}}\approx \frac{107572{,}22}{1000}\\ \mathrm{kN/m^{2}}\approx 107{,}6\\ \mathrm{kN/m^{2}}.

Passo 5

Interpretação final e observação didática rápida: a soma das quedas de pressão das tubulações em série foi feita assumindo que, para cada tubulação, a relação \Delta p\propto Q^{2} vale (hipótese salva pelo uso da fórmula de Darcy–Weisbach para geometria fixa e variações moderadas de Q). Dessa forma somam-se as contribuições individuais calculadas para a mesma vazão.

Resposta

\Delta p_{\text{total}}\approx 107{,}6\\ \mathrm{kN/m^{2}}

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