Óleo \rho=850 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{p} 1=120 \mathrm{kPa}, \mathrm{V} 1=1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, \mathrm{z} 1=10 \mathrm{~m} . \mathrm{V} 2=0,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, \mathrm{z} 2=4 \mathrm{~m}.
Determine p2.
Resp: : p2 \approx 170,86 \mathrm{kPa}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dados:
    • \rho = 850\\ \mathrm{kg/m^3}
    • p_1 = 120\\ \mathrm{kPa}
    • V_1 = 1{,}5\\ \mathrm{m/s}
    • z_1 = 10\\ \mathrm{m}
    • V_2 = 0{,}5\\ \mathrm{m/s}
    • z_2 = 4\\ \mathrm{m}
  • Pedido: determinar p_2.

Passo 2

Hipóteses e escolha do método (explicação rápida e didática).
  • Aqui assumimos escoamento incompressível, estacionário, sem trocas de energia por bombas/trabalhos e sem perdas por atrito entre os pontos 1 e 2. Com isso podemos aplicar a equação de Bernoulli (forma energética) entre os pontos 1 e 2.
  • A equação de Bernoulli, em termos de pressão, velocidade e cota, permite relacionar p_1, V_1, z_1 com p_2, V_2, z_2.

Passo 3

Apresentação da equação e explicação dos termos.
  • A forma usual da equação de Bernoulli (sem termos de perda nem trabalho) é
\frac{p_1}{\rho g} + \frac{V_1^2}{2g} + z_1 \;=\; \frac{p_2}{\rho g} + \frac{V_2^2}{2g} + z_2.
  • Significado de cada termo:
    • \dfrac{p}{\rho g} é a cota equivalente de pressão (unidade: metros).
    • \dfrac{V^2}{2g} é a cota equivalente de energia cinética por unidade de peso (head cinético).
    • z é a cota geométrica (metros).
  • Variáveis:
    • p em Pascal ( \mathrm{Pa}),
    • \rho em \mathrm{kg/m^3},
    • g aceleração da gravidade, tomaremos g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2},
    • V em \mathrm{m/s},
    • z em \mathrm{m}.

Passo 4

Isolar p_2 a partir da equação de Bernoulli (álgebra passo a passo).
  • Multiplicando a equação por \rho g obtemos
p_1 + \tfrac{1}{2}\rho V_1^2 + \rho g z_1 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho V_2^2 + \rho g z_2.
  • Isolando p_2:
p_2 = p_1 + \tfrac{1}{2}\rho\bigl(V_1^2 - V_2^2\bigr) + \rho g (z_1 - z_2).
Esta fórmula tem interpretação simples: p_2 é p_1 acrescido da diferença de termos de energia cinética por volume e da diferença de energia potencial por volume entre 1 e 2.

Passo 5

Conversão de unidades e cálculo do termo de energia cinética.
  • Converter p_1 para Pascal: p_1 = 120\\ \mathrm{kPa} = 120000\\ \mathrm{Pa}.
  • Calcular V_1^2 - V_2^2: V_1^2 - V_2^2 = (1{,}5)^2 - (0{,}5)^2 = 2{,}25 - 0{,}25 = 2{,}0\\ \mathrm{m^2/s^2}.
  • Calcular \tfrac{1}{2}\rho (V_1^2 - V_2^2): \tfrac{1}{2}\rho (V_1^2 - V_2^2) = \tfrac{1}{2}\cdot 850\cdot 2{,}0 = 850\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Cálculo do termo de energia potencial ( \rho g (z_1 - z_2)).
  • Diferença de cotas: z_1 - z_2 = 10 - 4 = 6\\ \mathrm{m}.
  • Calcular \rho g (z_1 - z_2): \rho g (z_1 - z_2) = 850 \cdot 9{,}81 \cdot 6 = 850 \cdot 58{,}86 = 50\,031\\ \mathrm{Pa}.

Passo 7

Somar termos e obter p_2; conversão final para \mathrm{kPa}.
  • Somando os termos na expressão de p_2: p_2 = 120\,000 + 850 + 50\,031 = 170\,881\\ \mathrm{Pa}.
  • Converter para \mathrm{kPa}: p_2 \approx 170{,}881\\ \mathrm{Pa} = 170{,}881/1000\\ \mathrm{kPa} \approx 170{,}881\\ \mathrm{kPa}.
  • Arredondando (duas casas decimais em kPa fica): p_2 \approx 170{,}86\\ \mathrm{kPa}.

Resposta

p_2 \approx 170{,}86\\ \mathrm{kPa}

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