Um jato de água é descarregado num tanque aberto de onde a água é retirada com uma vazão de
. Se a área da seção reta do tubo que alimenta a água no tanque é de
e a velocidade média do jato é de
, determine a taxa de elevação do nível do tanque, cuja área da seção reta é de
.
Passo 1
Beleza, aqui o problema é assim: temos um jato de água entrando num tanque aberto e, ao mesmo tempo, a água sai do tanque a uma vazão de 1 ft³/s. O cano que leva água pro tanque tem área de seção reta de 4 in² e a água sai dele a 20 ft/s. O tanque, por sua vez, tem área de seção reta igual a 10 ft².
Matéria: taxas relacionadas (derivadas de volume em função do tempo).
O que vamos precisar:
Matéria: taxas relacionadas (derivadas de volume em função do tempo).
O que vamos precisar:
- Converter a área do cano de in² para ft².
- Calcular a vazão de entrada
. - Fazer a diferença entre entrada e saída pra achar
. - Relacionar
com pelo fato de .
Passo 2
Primeiro, converte a área do cano de 4 in² para ft².
Como 1 ft = 12 in,
Como 1 ft = 12 in,
Logo
Passo 3
Agora calcula a vazão de entrada:
A vazão de saída é
ft³/s. Então a variação líquida do volume no tanque é
O sinal “–” indica que, na real, o volume está diminuindo (o tanque esvazia um pouco).
Passo 4
Relação volume–altura: como a área do tanque é constante,
.
Derivando em relação a :
Derivando em relação a
Logo
Resposta
A taxa de variação do nível do tanque é
Ou seja, o nível está caindo a
ft/s.