Um jato de água é descarregado num tanque aberto de onde a água é retirada com uma vazão de 1 ft^3 / s. Se a área da seção reta do tubo que alimenta a água no tanque é de 4 in^2 e a velocidade média do jato é de 20 ft / s, determine a taxa de elevação do nível do tanque, cuja área da seção reta é de 10 ft^2.

Passo 1

Beleza, aqui o problema é assim: temos um jato de água entrando num tanque aberto e, ao mesmo tempo, a água sai do tanque a uma vazão de 1 ft³/s. O cano que leva água pro tanque tem área de seção reta de 4 in² e a água sai dele a 20 ft/s. O tanque, por sua vez, tem área de seção reta igual a 10 ft².
Matéria: taxas relacionadas (derivadas de volume em função do tempo).
O que vamos precisar:
  1. Converter a área do cano de in² para ft².
  2. Calcular a vazão de entrada .
  3. Fazer a diferença entre entrada e saída pra achar .
  4. Relacionar com pelo fato de .

Passo 2

Primeiro, converte a área do cano de 4 in² para ft².
Como 1 ft = 12 in,
1 in^2 = l(tfrac112 ftr)^2 = tfrac1144 ft^2
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Acano = 4 in^2 = 4cdottfrac1144 ft^2 = tfrac4144 ft^2 = tfrac136 ft^2

Passo 3

Agora calcula a vazão de entrada:
Qin = Acanotimes v = 136 ft^2 times 20 ft/s = 2036 ft^3/s = 59 ft^3/s
A vazão de saída é dVdt = Qin - Qout = 59 - 1 = 59 - 99 = -49 ft^3/s ft³/s. Então a variação líquida do volume no tanque é
O sinal “–” indica que, na real, o volume está diminuindo (o tanque esvazia um pouco).

Passo 4

Relação volume–altura: como a área do tanque é constante, dVdt = Atanque;dhdt .
Derivando em relação a dhdt = 1Atanque,dVdt = 110 ft^2,l(-tfrac49 ft^3/sr) = -490 ft/s = -245 ft/s :
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Resposta

A taxa de variação do nível do tanque é
boxeddhdt = -245 ft/s
Ou seja, o nível está caindo a ft/s.

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