A distribuicalo de temperaturas ao longo de uma parede com espessura de 1 m , em determinado instante de tempo, é dada por:
T(x)=a+b x^2
na qual T está em graus Celsius e x em metros, enquanto a=100^circ C e b=?^circ C / m^2. Uma geração de calor uniforme, q=20.000 W / m^3, está presente na parede, cuja área è de 10 m^2, massa específica de 500 kg / m^3 e calor específico Cp=50 J /(kg cdot K).
Determine o valor de b na equação da temperatura para atender os requisitos do problema.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma parede de 1 m de espessura onde, num certo instante, a temperatura varia com x segundo
T(x)=a + b,x^2,,
com k,d^2Tdx^2 + q = 0 °C e desconhecido. Há geração de calor uniforme W/m³, área da parede m², massa específica kg/m³ e calor específico J/(kg·K).
O conteúdo aqui é condução de calor unidimensional com geração interna em regime estacionário (∂T/∂t=0). Para resolver, vamos usar a equação básica da condução com termo fonte:

Passo 2

Lembra que, em regime estacionário, a equação de conservação de energia (equação de Fourier com geração) é
k,d^2Tdx^2 + q = 0,
onde
  • é a condutividade térmica (W/m·K),
  • é a segunda derivada de em relação a ,
  • é a geração interna (W/m³).
O porquê: em cada fatia infinitesimal da parede, o calor que entra menos o que sai mais o que é gerado tem que somar zero (estacionário).

Passo 3

Agora substitui o nosso perfil dTdx = 2b,x Longrightarrow d^2Tdx^2 = 2b . A segunda derivada é bem simples:
k,(2b) + q = 0 Longrightarrow 2k,b + q = 0
Então, na equação de condução fica

Passo 4

Despejando 2k,b = -,q Longrightarrow boxedb = -q2,k :
Esse é o valor de que faz o perfil satisfazer a equação de condução com geração interna.
Observação importante: o exercício original não fornece (condutividade). Logo, a resposta fica em função de . Se o problema desse um valor numérico para , você só substituiria ali.

Resposta

b = -q2,k
(Como não foi fornecido, a expressão de permanece em função de .)

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