A distribuicalo de temperaturas ao longo de uma parede com espessura de 1 m , em determinado instante de tempo, é dada por:
na qual
está em graus Celsius e
em metros, enquanto
e
. Uma geração de calor uniforme,
, está presente na parede, cuja área è de 10
, massa específica de
e calor específico
.
Determine o valor de
na equação da temperatura para atender os requisitos do problema.
Determine o valor de
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma parede de 1 m de espessura onde, num certo instante, a temperatura varia com x segundo
com
°C e
desconhecido. Há geração de calor uniforme
W/m³, área da parede
m², massa específica
kg/m³ e calor específico
J/(kg·K).
O conteúdo aqui é condução de calor unidimensional com geração interna em regime estacionário (∂T/∂t=0). Para resolver, vamos usar a equação básica da condução com termo fonte:
O conteúdo aqui é condução de calor unidimensional com geração interna em regime estacionário (∂T/∂t=0). Para resolver, vamos usar a equação básica da condução com termo fonte:
Passo 2
Lembra que, em regime estacionário, a equação de conservação de energia (equação de Fourier com geração) é
onde
-
é a condutividade térmica (W/m·K), -
é a segunda derivada de em relação a , -
é a geração interna (W/m³).
O porquê: em cada fatia infinitesimal da parede, o calor que entra menos o que sai mais o que é gerado tem que somar zero (estacionário).
Passo 3
Agora substitui o nosso perfil
. A segunda derivada é bem simples:
Então, na equação de condução fica
Passo 4
Despejando
:
Esse é o valor de
que faz o perfil
satisfazer a equação de condução com geração interna.
Observação importante: o exercício original não fornece
(condutividade). Logo, a resposta fica em função de
. Se o problema desse um valor numérico para
, você só substituiria ali.
Resposta
(Como
não foi fornecido, a expressão de
permanece em função de
.)