Seja um tanque cilíndrico de diâmetro D e altura H inicialmente contendo um líquido A com massa específica rhoA. Subitamente, inicia-se a alimentação de um líquido B com massa específica rhoB, imiscível com o líquido A . A partir daí, alimenta-se o tanque com uma vazão mássica constante de B, mB e retira-se, simultaneamente, o conteúdo do tanque com uma vazão volumétrica m(m>mB). Sabendo-se que o líquido A é mais denso que o líquido B, pede-se o tempo necessário para que todo o líquido A deixe o tanque. Pede-se ainda o tempo necessário para que o tanque seja totalmente esvaziado.

Passo 1

Beleza, o exercício diz o seguinte: temos um tanque cilíndrico de diâmetro D e altura H, cheio inicialmente de um líquido A (densidade ). A partir de começa a entrar um líquido B (densidade ), imiscível, com vazão volumétrica constante , e ao mesmo tempo sai do tanque uma vazão volumétrica constante , com .
Conteúdo: balanço de volume e equações diferenciais de primeira ordem (mistura perfeita). Vamos precisar:
  1. área da base e volume inicial ,
  2. montar balanço de volume total,
  3. montar balanço do volume de A,
  4. resolver as ODEs e encontrar os tempos pedidos.

Passo 2

Balanço de volume total dVdt = -De:
dV/dt = vazão de entrada – vazão de saída = .
Defino , então

Passo 3

Integro para achar V(t)=V0 - De, usando :

Passo 4

Agora o volume de A, dVAdt = -l(VAVr),m . Como supomos mistura perfeita, a fração de A na saída é 1VA,dVAdt ;=; -,mV(t) , logo
Isso dá a equação diferencial

Passo 5

Integro de lnVA(t)V0 ;=; -,mintegral0^tdt'V0-De a VA(t)=V0;l(1-tfracDe:
Logo

Passo 6

  1. Para 1-De precisamos que o parênteses vá a zero:
V0-De
  1. Para esvaziar totalmente também:

Resposta

Como boxedt1 ;=; t2 ;=;V0m-mB ;=;pi D^2,H4,(m-mB) e , ambos os tempos coincidem:

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