Seja um tanque cilíndrico de diâmetro D e altura H inicialmente contendo um líquido A com massa específica
. Subitamente, inicia-se a alimentação de um líquido B com massa específica
, imiscível com o líquido A . A partir daí, alimenta-se o tanque com uma vazão mássica constante de B,
e retira-se, simultaneamente, o conteúdo do tanque com uma vazão volumétrica
. Sabendo-se que o líquido A é mais denso que o líquido B, pede-se o tempo necessário para que todo o líquido A deixe o tanque. Pede-se ainda o tempo necessário para que o tanque seja totalmente esvaziado.
Passo 1
Beleza, o exercício diz o seguinte: temos um tanque cilíndrico de diâmetro D e altura H, cheio inicialmente de um líquido A (densidade
). A partir de
começa a entrar um líquido B (densidade
), imiscível, com vazão volumétrica constante
, e ao mesmo tempo sai do tanque uma vazão volumétrica constante
, com
.
Conteúdo: balanço de volume e equações diferenciais de primeira ordem (mistura perfeita). Vamos precisar:
Conteúdo: balanço de volume e equações diferenciais de primeira ordem (mistura perfeita). Vamos precisar:
- área da base
e volume inicial , - montar balanço de volume total,
- montar balanço do volume de A,
- resolver as ODEs e encontrar os tempos pedidos.
Passo 2
Balanço de volume total
:
dV/dt = vazão de entrada – vazão de saída = .
Defino , então
dV/dt = vazão de entrada – vazão de saída =
Defino
Passo 3
Integro para achar
, usando
:
Passo 4
Agora o volume de A,
. Como supomos mistura perfeita, a fração de A na saída é
, logo
Isso dá a equação diferencial
Passo 5
Integro de
a
:
Logo
Passo 6
- Para
precisamos que o parênteses vá a zero:
- Para esvaziar totalmente
também:
Resposta
Como
e
, ambos os tempos coincidem: