Um jato de água horizontal colide contra uma placa vertical plana e se espalha radialmente. Explique, usando o Princípio do Momento Linear, por que a placa deve exercer uma força contra o jato mesmo que a magnitude da velocidade não mude. Qual a direção da força do fluido sobre a placa?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Explicar, usando o Princípio do Momento Linear, por que a placa deve exercer uma força sobre o jato mesmo que a magnitude da velocidade do jato não mude.
  • Indicar a direção da força que o fluido exerce sobre a placa.
Informações dadas (isto é o que vamos usar):
  • Um jato de água atinge horizontalmente uma placa vertical e, ao chocar, o jato se espalha radialmente ao longo da superfície da placa.
  • A magnitude da velocidade do jato não muda (ou seja, a velocidade antes e depois tem o mesmo módulo), mas a direção muda.

Passo 2

Recordando o Princípio do Momento Linear para um escoamento em regime estacionário (forma prática útil para jatos que atingem superfícies): a força líquida externa aplicada ao fluido dentro de um volume de controle é igual à diferença entre a taxa de saída e a taxa de entrada de momento através das superfícies de controle. Escrevemos isso, de maneira compacta, como
\sum \mathbf{F}_{\text{ext}}=\dot{m}\,\mathbf{v}_{\text{out}}-\dot{m}\,\mathbf{v}_{\text{in}}=\dot{m}\,(\mathbf{v}_{\text{out}}-\mathbf{v}_{\text{in}}).
Aqui:
  • \sum \mathbf{F}_{\text{ext}} é o vetor soma das forças externas atuando sobre o fluido dentro do volume de controle (inclui a força da placa sobre o fluido),
  • \dot{m} é a vazão mássica do jato (massa por unidade de tempo que incide na placa), em kg/s,
  • \mathbf{v}_{\text{in}} é o vetor velocidade do fluido antes do choque (direção do jato),
  • \mathbf{v}_{\text{out}} é o vetor velocidade do fluido após o choque (direções para as quais o jato é desviado).
    Explicação didática curta: momento linear (quantidade de movimento) é um vetor \mathbf{p}=m\mathbf{v}. Mudar a direção de \mathbf{v} muda \mathbf{p} mesmo que |\mathbf{v}| permaneça igual; uma mudança de momento requer uma força (impulso).

Passo 3

Escolhemos um sistema de eixos simples para ficar concreto:
  • eixo \mathbf{e}_x normal à placa, orientado na direção do jato que chega (ou seja, a velocidade incidente tem componente em \mathbf{e}_x),
  • componentes tangenciais ao plano da placa ficam em \mathbf{e}_y,\mathbf{e}_z.
Antes do choque, a velocidade do jato pode ser escrita como
\mathbf{v}_{\text{in}}=v\,\mathbf{e}_x,
onde v é o módulo da velocidade (dado que é horizontal e normal à placa). Após o choque, o jato é desviado para correr radialmente ao longo da placa, isto é, suas velocidades relativas à placa têm praticamente componente normal nula:
\mathbf{v}_{\text{out}}\cdot\mathbf{e}_x\approx 0.
Note que o módulo |\mathbf{v}_{\text{out}}|=v pode ser assumido igual a v (condição do enunciado), mas a componente em \mathbf{e}_x mudou de v para aproximadamente 0. A mudança de momento na direção x por unidade de tempo (isto é, a força necessária na direção x sobre o fluido) é
F_{x,\text{plate sobre fluido}}=\dot{m}\,(v_{x,\text{out}}-v_{x,\text{in}})=\dot{m}\,(0-v)=-\dot{m}\,v.
Interpretação: o valor negativo indica que a placa exerce sobre o fluido uma força dirigida no sentido negativo de \mathbf{e}_x — ou seja, a placa empurra o fluido para trás, afastando-o da direção de chegada.

Passo 4

Aplicando a terceira lei de Newton (ação e reação): a força que o fluido exerce sobre a placa é igual e oposta à força que a placa exerce sobre o fluido. Assim
\mathbf{F}_{\text{fluido sobre placa}}=-\mathbf{F}_{\text{placa sobre fluido}}=\dot{m}\,v\,\mathbf{e}_x.
Ou seja, a placa sofre uma força na direção de chegada do jato (mesma direção do vetor \mathbf{v}_{\text{in}}), com módulo
F=\dot{m}\,v.
Se for útil calcular \dot{m} a partir de geometria do jato e densidade, usa-se \dot{m}=\rho A v, onde \rho é a densidade do líquido e A a área da seção do jato; então
F=\rho A v^2.
Isto mostra quantitativamente que a força existe e tem sentido de empurrar a placa na direção do jato.

Passo 5

Vou reforçar com uma explicação conceitual bem clara e um exemplo vetorial simples (sem números complicados). Momento é vetor: um jato vindo com \mathbf{v}_{\text{in}}=v(1,0) (no plano x,y) e que, após impacto, seja desviado para a direita e para cima com a mesma velocidade v, digamos \mathbf{v}_{\text{out}}=v(0,1). Mesmo que |\mathbf{v}_{\text{in}}|=|\mathbf{v}_{\text{out}}|, a diferença vetorial é
\mathbf{v}_{\text{out}}-\mathbf{v}_{\text{in}}=v(0,1)-v(1,0)=v(-1,1),
que não é zero. Multiplicando por \dot{m} dá uma taxa de variação de momento diferente de zero, ou seja, precisa existir força. No caso real da placa vertical que espalha o jato ao longo de si, a componente normal (x) do vetor velocidade passa de v para 0, portanto há uma perda de momento x do fluido de magnitude \dot{m}v; essa perda é fornecida pela força da placa sobre o fluido, e a reação (o empuxo sobre a placa) aponta na direção do jato.

Passo 6

Resumo físico e intuição: mesmo que a velocidade escalar não mude, a mudança de direção da velocidade implica mudança do vetor momento; mudar o momento requer uma força. Portanto a placa tem de exercer força sobre o jato para desviá‑lo; por reação, o jato exerce sobre a placa uma força na direção do jato incidente, de magnitude \dot{m}v (ou \rho A v^2 se for expresso por densidade e área).

Resposta

A placa deve exercer força porque a direção da velocidade (logo o vetor momento) do jato muda ao chocar-se com a placa; mudar o momento vetorial requer força, mesmo que o módulo da velocidade permaneça.
A força do fluido sobre a placa aponta na direção do jato incidente (ou seja, no sentido do escoamento que chega à placa) e tem módulo F=\dot{m}\,v (equivalente a F=\rho A v^2 usando \dot{m}=\rho A v).

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