Água escoa por um cotovelo de 90^{\circ} horizontal que reduz o diâmetro da tubulação. Identifique as três fontes principais de força (pressão, momento, reação) que agem sobre o fluido dentro do volume de controle e contribuem para a força de reação nas ancoragens.

Passo 1

O enunciado: água escoa por um cotovelo horizontal de 90^\circ que reduz o diâmetro da tubulação. Pede-se identificar as três fontes principais de força que atuam sobre o fluido dentro de um volume de controle e que, por sua vez, determinam a força de reação que as âncoras (suportes) devem fornecer.
Informações relevantes (o que temos do problema):
  • Tubulação horizontal com curva de 90^\circ.
  • Há redução de diâmetro (portanto velocidade aumenta na saída).
  • Queremos as fontes de força que atuam sobre o fluido no volume de controle e que se refletem na reação nas ancoragens.
    (Observação: detalhes numéricos não foram dados — vamos fazer a identificação e dar as fórmulas e procedimento para calcular cada contribuição.)

Passo 2

Definição do volume de controle e esquema físico — mentalmente ou no rascunho da prova desenhe:
  • Volume de controle que envolve o trecho do cotovelo, com uma face normal ao escoamento na entrada (área A_{in}), uma na saída (área A_{out}) e as superfícies das paredes do cotovelo.
  • Vetores velocidade: \vec{V}_{in} na direção da entrada e \vec{V}_{out} na direção da saída, perpendiculares porque o cotovelo é de 90^\circ. Pela redução de diâmetro vem a continuidade:
\dot{m}=\rho A_{in} V_{in}=\rho A_{out} V_{out},
onde \dot{m} é a vazão mássica (kg/s), \rho é a densidade do fluido, A é a área da seção e V a velocidade média na seção.
Explicação rápida: identificar bem essas superfícies é o primeiro passo para aplicar o balanço de momentos/forças na prova.

Passo 3

Fonte 1 — Forças de pressão sobre as superfícies do volume de controle (forças normais): o fluido sofre pressão estática e dinâmica que atuam normal às superfícies.
  • Matemática: a força devida à pressão sobre uma superfície S é
\vec{F}_p=\int_{S} (-p)\,\hat{n}\,dA,
onde p é a pressão local, \hat{n} é a normal externa ao volume de controle e dA elemento de área.
  • Interpretação prática para a prova: frequentemente a contribuição útil vem das faces de entrada e saída, que podem ser aproximadas por -p_{in}A_{in} e +p_{out}A_{out} (sinais dependem da orientação das normais). Também há distribuição de pressão nas paredes curvas do cotovelo que pode resultar em componente lateral da força.
  • Dica de cálculo em prova: se lhe dão p_{in} e p_{out} e assumem pressão uniforme nas seções, calcule cada componente como F_{p,x}=\pm p A e some vetorialmente. Se a pressão nas paredes varia, a integral deve ser usada (ou é dada).

Passo 4

Fonte 2 — Força de momento (fluxo de momento linear / variação de quantidade de movimento): o fluido que entra com uma quantidade de movimento sai com outra; a mudança de quantidade de movimento por unidade de tempo exige uma força resultante sobre o controle. Essa é a contribuição inercial (impulso) ao balanço de forças.
  • Fórmula para escoamento estacionário (sem acumulação de massa):
\sum \vec{F}_{ext} = \dot{m}\,\vec{V}_{out} - \dot{m}\,\vec{V}_{in},
onde \sum \vec{F}_{ext} inclui todas as forças externas aplicadas ao fluido (pressão nas superfícies, forças de parede, reações de suporte).
  • Para o cotovelo de 90^\circ é útil decompor em componentes. Assuma \vec{V}_{in} = V_{in}\,\hat{\imath} e \vec{V}_{out}=V_{out}\,\hat{\jmath}. Então o termo de momento dá:
\dot{m}(\vec{V}_{out}-\vec{V}_{in}) = -\dot{m}V_{in}\,\hat{\imath} + \dot{m}V_{out}\,\hat{\jmath}.
  • Como A_{out}<A_{in}, V_{out}=V_{in}\dfrac{A_{in}}{A_{out}}>V_{in}, o componente na direção da saída pode ser grande.
  • Dica prática: este termo (massa vezes variação de velocidade) costuma ser a contribuição dominante para a força lateral que as âncoras precisam resistir num cotovelo.

Passo 5

Fonte 3 — Forças de reação das paredes: aqui convém separar dois papéis relacionados:
  • (a) Esforços tangenciais (cisalhamento) nas paredes devido à viscosidade (força de atrito): \vec{F}_\tau=\int_{S_{walls}}\vec{\tau}_w\,dA, onde \vec{\tau}_w é a tensão tangencial. Em provas, quando houver perda de carga por atrito, essa contribuição aparece e age na direção do escoamento. Pode ser estimada via perda de carga \Delta p_f (p.ex. Darcy–Weisbach) se fornecida.
  • (b) Força estrutural de reação das ancoragens: a tubulação (paredes e suportes) transmite ao fluido forças normais e tangenciais; as ancoragens, por sua vez, aplicam forças na tubulação para equilibrar o conjunto. No balanço do fluido, a força de reação das ancoragens aparece como uma força externa que equilibra as outras contribuições; em termos práticos na prova, resolve-se para a reação das ancoragens a partir da soma vetorial:
\vec{R} = \dot{m}(\vec{V}_{out}-\vec{V}_{in}) - \vec{F}_p - \vec{F}_\tau,
onde \vec{F}_p é a soma das forças de pressão e \vec{F}_\tau a soma das forças de cisalhamento das paredes. Aqui \vec{R} é a força que os suportes/âncoras precisam aplicar sobre a tubulação para manter o equilíbrio (por ação e reação, o fluido sente o negativo desta força).
  • Explicação coloquial: o fluido “empurra” a curva por causa da mudança de direção e velocidade; as paredes e ancoragens reagem com forças normais e de atrito. As ancoragens recebem estas forças e precisam resisti‑las.

Passo 6

Resumo do procedimento para uma prova (passo a passo para calcular a reação):
  1. Desenhe o CV que inclui entrada, saída e paredes do cotovelo. Marque A_{in},A_{out},V_{in},V_{out},p_{in},p_{out}.
  2. Use continuidade: \dot{m}=\rho A_{in}V_{in}=\rho A_{out}V_{out}.
  3. Calcule forças de pressão nas seções: por exemplo, aproxime F_{p,in}=-p_{in}A_{in}\,\hat{\imath} (sinal conforme normal) e F_{p,out}=+p_{out}A_{out}\,\hat{\jmath}. Some também a resultante das pressões na parede se necessário.
  4. Calcule o termo de momento: \dot{m}(\vec{V}_{out}-\vec{V}_{in}) (faça decomposição em componentes x e y).
  5. Inclua forças de atrito nas paredes se houver perda de carga fornecida: estime \vec{F}_\tau a partir de \Delta p_f A_{média}é ou da relação com \tau_w.
  6. Escreva o equilíbrio vetorial e isole a reação das ancoragens:
\vec{R} = \dot{m}(\vec{V}_{out}-\vec{V}_{in}) - \vec{F}_p - \vec{F}_\tau.
  1. Interprete sinais e direções: normalmente \vec{R} terá componente lateral (pela volta de 90^\circ) e componente longitudinal (pela diferença de pressão/atrito).

Passo 7

Observações finais e dicas de prova:
  • Se o escoamento for estacionário e a massa dentro do CV constante, não há termo de acumulação; tudo vira fluxo (fluxo de momento e forças de superfície).
  • Em muitas questões de prova as forças de parede (pressão nas paredes curvas) podem ser desprezadas ou incorporadas ao termo de pressão total se o enunciado pede aproximação; sempre verifique o que o enunciado permite.
  • Não esqueça de manter os vetores e sinais coerentes: a normal da seção de saída costuma estar orientada para fora do CV; cuidado com os sinais ao somar forças.
  • Se pedirem apenas identificar fontes (sem calcular): diga explicitamente (1) pressões nas superfícies, (2) variação de momento (fluxo de momento/inércia), (3) forças de parede/atraito e reação estrutural das ancoragens.

Resposta

Forças de pressão sobre as superfícies do volume de controle (faces de entrada/saída e paredes).
Força associada à variação de momento linear do fluido (fluxo de momento: \dot{m}(\vec{V}_{out}-\vec{V}_{in})).
Forças de parede (cisalhamento/atrito) e a reação estrutural transmitida às ancoragens (resultado que equilibra pressão + momento + atrito).

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