1. Um jato de ar horizontal com 13 mm de diâmetro, e axialmente simétrico, atinge um disco estacionário vertical com 203 mm de diâmetro. A velocidade do jato é de 69 \mathrm{~m} / \mathrm{s} na saída do bocal. Um manômetro está conectado ao centro do disco. Calcule:
(b) a força exercida pelo jato sobre o disco.

Passo 1

O enunciado nos dá estes dados (já converti para unidades do SI):
  • Diâmetro do jato: d_j = 13\\ \text{mm} = 0{,}013\\ \text{m}.
  • Diâmetro do disco: d_d = 203\\ \text{mm} = 0{,}203\\ \text{m}.
  • Velocidade do jato na saída: V = 69\\ \text{m/s}.
  • Um manômetro está ligado ao centro do disco (informação presente no enunciado).
O que a questão (b) pede:
  • Calcular a força exercida pelo jato sobre o disco.
Observações importantes (informações relevantes que vou usar):
  • O disco é muito maior que o jato ( d_d \gg d_j), então o jato é completamente interceptado pelo disco.
  • Não foi dada a densidade do ar; vou assumir ar em condições padrão com densidade \rho = 1{,}225\\ \text{kg/m}^3. Vou justificar isso nos passos seguintes.
  • A velocidade 69\\ \text{m/s} é pequena em relação à velocidade do som, então tratamento incompressível é adequado (não é necessário considerar efeitos compressíveis).

Passo 2

Qual método usar (explicação do porquê e definição das ideias):
  • Aqui é natural usar o princípio da conservação de quantidade de movimento para um volume de controle que envolve o jato e o disco. Em palavras simples: a força axial que o disco sente é igual à taxa de variação da quantidade de movimento axial do fluido que é interceptado pelo disco.
  • No caso do jato que incide perpendicularmente sobre o disco e depois é espalhado radialmente sobre ele, a componente axial da velocidade do fluido, depois de atingir o disco, fica praticamente nula. Portanto a mudança de quantidade de movimento axial por unidade de tempo é simplesmente a massa por unidade de tempo que chega vezes a velocidade axial que tinha.
  • Fórmula básica que vamos usar:
F = \dot{m}\,V,
onde:
  • F é a força (na direção axial) exercida pelo jato sobre o disco (N),
  • \dot{m} é a vazão mássica do jato (kg/s),
  • V é a velocidade axial do jato na saída (m/s).
  • Explicando \dot{m}: para um jato com seção circular e velocidade média V,
\dot{m}=\rho\,A_j\,V,
onde:
  • \rho é a densidade do fluido (kg/m ^3),
  • A_j é a área da seção do jato (m ^2),
  • V é a velocidade (m/s).

Passo 3

Cálculo da área da seção do jato e da vazão mássica passo a passo:
  • Raio do jato:
r_j = \frac{d_j}{2} = \frac{0{,}013}{2} = 0{,}0065\\ \text{m}.
  • Área da seção circular do jato:
A_j = \pi r_j^2 = \pi (0{,}0065)^2.
Calculemos r_j^2:
r_j^2 = (0{,}0065)^2 = 4{,}225\times 10^{-5}\\ \text{m}^2.
Logo
A_j = \pi \times 4{,}225\times 10^{-5} \approx 1{,}327\times 10^{-4}\\ \text{m}^2.
  • Agora a vazão mássica:
\dot{m} = \rho\,A_j\,V.
Substituindo \rho = 1{,}225\\ \text{kg/m}^3, A_j \approx 1{,}327\times 10^{-4}\\ \text{m}^2 e V = 69\\ \text{m/s}:
\dot{m} \approx 1{,}225 \times 1{,}327\times 10^{-4} \times 69.
Façamos a multiplicação em etapas:
A_j V = 1{,}327\times 10^{-4} \times 69 \approx 9{,}1623\times 10^{-3}\\ \text{m}^3/\text{s},
\dot{m} \approx 1{,}225 \times 9{,}1623\times 10^{-3} \approx 0{,}01123\\ \text{kg/s}.

Passo 4

Cálculo da força pelo balanço de quantidade de movimento:
  • Como argumentado, a componente axial da velocidade após impacto é (aproximadamente) zero, então
F = \dot{m}\,V.
Substituindo \dot{m}\approx 0{,}01123\\ \text{kg/s} e V=69\\ \text{m/s}:
F \approx 0{,}01123 \times 69 \approx 0{,}7749\\ \text{N}.
  • Alternativamente podemos usar a forma direta
F = \rho\,A_j\,V^2,
que dá o mesmo resultado numérico:
F \approx 1{,}225 \times 1{,}327\times 10^{-4} \times 69^2 \approx 0{,}7749\\ \text{N}.

Passo 5

Interpretação e comentários finais (assunções feitas):
  • Resultado numérico final: F \approx 0{,}775\\ \text{N} (arredondado a três algarismos significativos).
  • Assunções que foram feitas e que justificam o método:
    • Todo o jato é interceptado pelo disco (justificado porque d_d = 0{,}203\\ \text{m} \gg d_j = 0{,}013\\ \text{m}).
    • A componente axial da velocidade após o impacto é nula (o jato é espalhado radialmente sobre o disco).
    • Densidade do ar considerada \rho = 1{,}225\\ \text{kg/m}^3. Se a densidade real for diferente, o resultado escala linearmente com \rho.
    • Efeitos de pressão estática distribuída no disco, atrito viscoso ou recirculação foram desprezados — para jato de pequeno diâmetro com impacto direto, a estimativa por balanço de quantidade de movimento é a prática usual em provas e em engenharia básica.
  • Se houver no enunciado um valor do manômetro (pressão de estagnação) fornecido na parte (a), seria possível verificar consistência com \tfrac{1}{2}\rho V^2 (pressão dinâmica) — mas isso não muda a fórmula do balanço de momento usada aqui.

Resposta

0{,}775\\ \text{N}

Exercícios relacionados