- Um jato de ar horizontal com 13 mm de diâmetro, e axialmente simétrico, atinge um disco estacionário vertical com 203 mm de diâmetro. A velocidade do jato é de
na saída do bocal. Um manômetro está conectado ao centro do disco. Calcule:
(b) a força exercida pelo jato sobre o disco.
Passo 1
O enunciado nos dá estes dados (já converti para unidades do SI):
- Diâmetro do jato:
. - Diâmetro do disco:
. - Velocidade do jato na saída:
. - Um manômetro está ligado ao centro do disco (informação presente no enunciado).
O que a questão (b) pede:
- Calcular a força exercida pelo jato sobre o disco.
Observações importantes (informações relevantes que vou usar):
- O disco é muito maior que o jato (
), então o jato é completamente interceptado pelo disco. - Não foi dada a densidade do ar; vou assumir ar em condições padrão com densidade
. Vou justificar isso nos passos seguintes. - A velocidade
é pequena em relação à velocidade do som, então tratamento incompressível é adequado (não é necessário considerar efeitos compressíveis).
Passo 2
Qual método usar (explicação do porquê e definição das ideias):
- Aqui é natural usar o princípio da conservação de quantidade de movimento para um volume de controle que envolve o jato e o disco. Em palavras simples: a força axial que o disco sente é igual à taxa de variação da quantidade de movimento axial do fluido que é interceptado pelo disco.
- No caso do jato que incide perpendicularmente sobre o disco e depois é espalhado radialmente sobre ele, a componente axial da velocidade do fluido, depois de atingir o disco, fica praticamente nula. Portanto a mudança de quantidade de movimento axial por unidade de tempo é simplesmente a massa por unidade de tempo que chega vezes a velocidade axial que tinha.
- Fórmula básica que vamos usar:
onde:
-
é a força (na direção axial) exercida pelo jato sobre o disco (N), -
é a vazão mássica do jato (kg/s), -
é a velocidade axial do jato na saída (m/s). - Explicando
: para um jato com seção circular e velocidade média ,
onde:
-
é a densidade do fluido (kg/m ), -
é a área da seção do jato (m ), -
é a velocidade (m/s).
Passo 3
Cálculo da área da seção do jato e da vazão mássica passo a passo:
- Raio do jato:
- Área da seção circular do jato:
Calculemos
:
Logo
- Agora a vazão mássica:
Substituindo
,
e
:
Façamos a multiplicação em etapas:
Passo 4
Cálculo da força pelo balanço de quantidade de movimento:
- Como argumentado, a componente axial da velocidade após impacto é (aproximadamente) zero, então
Substituindo
e
:
- Alternativamente podemos usar a forma direta
que dá o mesmo resultado numérico:
Passo 5
Interpretação e comentários finais (assunções feitas):
- Resultado numérico final:
(arredondado a três algarismos significativos). - Assunções que foram feitas e que justificam o método:
- Todo o jato é interceptado pelo disco (justificado porque
). - A componente axial da velocidade após o impacto é nula (o jato é espalhado radialmente sobre o disco).
- Densidade do ar considerada
. Se a densidade real for diferente, o resultado escala linearmente com . - Efeitos de pressão estática distribuída no disco, atrito viscoso ou recirculação foram desprezados — para jato de pequeno diâmetro com impacto direto, a estimativa por balanço de quantidade de movimento é a prática usual em provas e em engenharia básica.
- Todo o jato é interceptado pelo disco (justificado porque
- Se houver no enunciado um valor do manômetro (pressão de estagnação) fornecido na parte (a), seria possível verificar consistência com
(pressão dinâmica) — mas isso não muda a fórmula do balanço de momento usada aqui.