1. A área sombreada mostrada está em um escoamento onde o campo de velocidade é dado por \overrightarrow{\mathrm{V}}=\mathrm{ax} \hat{\mathrm{i}}+ by \hat{\mathrm{j}} ; \mathrm{a}=\mathrm{b}=1 \mathrm{~s}^{-1} \mathrm{e} as coordenadas são medidas em metros. Avalie a vazão volumétrica e o fluxo de quantidade de movimento através da área sombreada \left(\rho=1 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Avaliar a vazão volumétrica através da área sombreada.
  • Avaliar o fluxo de quantidade de movimento através da mesma área (com \rho=1\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3).
Informações dadas (peguei estes dados da figura e do enunciado):
  • Campo de velocidade:
\overrightarrow{V} = a\,x\,\hat{\imath} + b\,y\,\hat{\jmath},
com a=b=1\\ \mathrm{s}^{-1}. Então, numericamente,
\overrightarrow{V} = x\,\hat{\imath} + y\,\hat{\jmath}.
  • Densidade: \rho=1\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • A superfície sombreada é um paralelogramo com um lado paralelo ao eixo x de comprimento 5\\ \mathrm{m} e o outro lado inclinado que tem projeções 4\\ \mathrm{m} ao longo de y e 3\\ \mathrm{m} ao longo de z (valores retirados da figura).
  • As coordenadas são medidas em metros.
Resumo: precisamos calcular
  • a vazão volumétrica Q=\iint_{S}\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{S};
  • o fluxo de quantidade de movimento (vetorial) \overrightarrow{M}=\iint_{S}\rho\,\overrightarrow{V}\,(\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{S}).

Passo 2

Vamos descrever a geometria do paralelogramo de forma conveniente (isso é só geometria do desenho).
Escolho dois vetores de aresta que geram o paralelogramo (pego os comprimentos na imagem):
  • vetor ao longo do eixo x: \overrightarrow{r}_u = (5,0,0) (corresponde ao lado de 5\\ \mathrm{m});
  • vetor do outro lado (inclinado com projeções em y e z): \overrightarrow{r}_v = (0,4,3) (projeções 4\\ \mathrm{m} em y e 3\\ \mathrm{m} em z).
O elemento de superfície orientado (vetor área) é dado pelo produto vetorial das duas arestas:
\overrightarrow{r}_u\times\overrightarrow{r}_v = (5,0,0)\times(0,4,3).
Calculemos o produto vetorial:
\overrightarrow{r}_u\times\overrightarrow{r}_v = \begin{vmatrix}\hat{\imath}&\hat{\jmath}&\hat{k}\\[4pt]5&0&0\\[4pt]0&4&3\end{vmatrix} = (0\cdot3-0\cdot4)\,\hat{\imath}-(5\cdot3-0\cdot0)\,\hat{\jmath}+(5\cdot4-0\cdot0)\,\hat{k} = (0,-15,20).
A área total do paralelogramo é a magnitude desse vetor:
A = \big\lVert\overrightarrow{r}_u\times\overrightarrow{r}_v\big\rVert = \sqrt{0^2+(-15)^2+20^2} = \sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25\\ \mathrm{m}^2.
O vetor normal (orientação) associado ao elemento de área (para usar nas integrais) será o vetor constante
d\overrightarrow{S}=(\overrightarrow{r}_u\times\overrightarrow{r}_v)\,du\,dv=(0,-15,20)\,du\,dv,
onde u e v são parâmetros variando de 0 a 1 para percorrer o paralelogramo. Observação: o sinal final das integrais indicará a direção do fluxo relativo a esse normal escolhido.]

Passo 3

Parametrização da superfície e expressão do campo sobre ela.
Parametrizo o ponto da superfície por
\overrightarrow{r}(u,v)=u\,\overrightarrow{r}_u+v\,\overrightarrow{r}_v = (5u,\;4v,\;3v),
com 0\le u\le1,\\\ 0\le v\le1. Assim as coordenadas no ponto são
x=5u,\qquad y=4v,\qquad z=3v.
O campo de velocidade sobre a superfície (substituindo x e y) é
\overrightarrow{V}(u,v)=x\,\hat{\imath}+y\,\hat{\jmath}=(5u,\,4v,\,0)\\ \mathrm{m/s}.
O vetor de área elementar, como vimos, é constante:
d\overrightarrow{S}=(0,-15,20)\,du\,dv.
Agora calculamos o produto escalar que aparece na vazão:
\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{S} =(5u,4v,0)\cdot(0,-15,20)\,du\,dv =0\cdot5u + (-15)\cdot4v + 20\cdot0 \;=\;-60\,v\;du\,dv.
Integramos sobre o domínio u\in[0,1],v\in[0,1]:
Q=\iint_{S}\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{S} =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(-60\,v)\,du\,dv.
A integral em u é trivial (não há u no integrando):
Q=\int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{1}(-60\,v)\,du\right]dv =\int_{0}^{1}(-60\,v)\cdot(1)\,dv =-60\int_{0}^{1}v\,dv=-60\cdot\frac{1}{2}=-30.
Portanto a vazão volumétrica através da superfície é
Q=-30\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Interpretação do sinal: o negativo significa que o fluxo atravessa a superfície no sentido oposto ao do vetor normal escolhido (0,-15,20). O módulo do fluxo é 30\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 4

Fórmula e cálculo do fluxo de quantidade de movimento (vetorial).
A expressão que usamos para o fluxo de quantidade de movimento que atravessa uma superfície é
\overrightarrow{M}=\iint_{S}\rho\,\overrightarrow{V}\,(\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{S}),
onde \rho é a densidade (aqui \rho=1\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3). Explicando: \overrightarrow{V} é o vetor velocidade, e \overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{S} dá a componente volumétrica que atravessa por unidade de tempo; multiplicando por \rho e por \overrightarrow{V} obtemos o fluxo de quantidade de movimento (vetor), com unidades \mathrm{kg\cdot m/s^2} (N).
Já temos \overrightarrow{V}(u,v)=(5u,4v,0) e \overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{S}=-60v\,du\,dv. Então o integrando vetorial é
\rho\,\overrightarrow{V}\,(\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{S}) =1\cdot(5u,4v,0)\cdot(-60v)\,du\,dv =(-300\,u\,v,\;-240\,v^2,\;0)\,du\,dv.
Agora integramos componente a componente sobre u,v\in[0,1].
Componente x:
M_x=\int_0^1\int_0^1(-300\,u\,v)\,du\,dv =-300\left(\int_0^1 u\,du\right)\left(\int_0^1 v\,dv\right) =-300\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=-75.
Componente y:
M_y=\int_0^1\int_0^1(-240\,v^2)\,du\,dv =-240\left(\int_0^1 du\right)\left(\int_0^1 v^2\,dv\right) =-240\cdot 1\cdot\frac{1}{3}=-80.
Componente z:
M_z=\int_0^1\int_0^1 0\,du\,dv = 0.
Logo o vetor fluxo de quantidade de movimento é
\overrightarrow{M}=(-75,\,-80,\,0)\\ \mathrm{N}.
O sinal negativo nas componentes indica direção oposta ao sentido positivo dos eixos, consistente com o sinal da vazão (fluxo saindo no sentido oposto ao normal escolhido).

Passo 5

Resumo físico e observações finais:
  • A área do paralelogramo é 25\\ \mathrm{m}^2.
  • A vazão volumétrica através da superfície é Q=-30\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}. O módulo é 30\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}; o sinal negativo indica direção oposta ao normal (0,-15,20) usado na parametrização.
  • O fluxo de quantidade de movimento (vetor) através da superfície é \overrightarrow{M}=(-75,\,-80,\,0)\\ \mathrm{N} (com \rho=1\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3).
Você fez certo em mandar só o enunciado e a figura — com essa parametrização as integrais ficam diretas. Se quiser, eu posso reescrever as respostas usando o normal unitário (para interpretar o sinal como “para fora” ou “para dentro”) ou dar o módulo e direção do vetor \overrightarrow{M} numa forma angular. Força aí — tá indo bem!

Resposta

Q=-30\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}\n \displaystyle \overrightarrow{M}=(-75,\,-80,\,0)\\ \mathrm{N}

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