A área sombreada mostrada está em um escoamento onde o campo de velocidade é dado por \overrightarrow{\mathrm{V}}=\mathrm{ax} \hat{\mathrm{i}}+ by \hat{\mathrm{j}} ; \mathrm{a}=\mathrm{b}=1 \mathrm{~s}^{-1} \mathrm{e} as coordenadas são medidas em metros. Avalie a vazão volumétrica e o fluxo de quantidade de movimento através da área sombreada \left(\rho=1 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Avaliar a vazão volumétrica através da área sombreada.
Avaliar o fluxo de quantidade de movimento através da mesma área (com \rho=1\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3).
Informações dadas (peguei estes dados da figura e do enunciado):
A superfície sombreada é um paralelogramo com um lado paralelo ao eixo x de comprimento 5\\ \mathrm{m} e o outro lado inclinado que tem projeções 4\\ \mathrm{m} ao longo de y e 3\\ \mathrm{m} ao longo de z (valores retirados da figura).
As coordenadas são medidas em metros.
Resumo: precisamos calcular
a vazão volumétrica Q=\iint_{S}\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{S};
o fluxo de quantidade de movimento (vetorial) \overrightarrow{M}=\iint_{S}\rho\,\overrightarrow{V}\,(\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{S}).
Passo 2
Vamos descrever a geometria do paralelogramo de forma conveniente (isso é só geometria do desenho).
Escolho dois vetores de aresta que geram o paralelogramo (pego os comprimentos na imagem):
vetor ao longo do eixo x: \overrightarrow{r}_u = (5,0,0) (corresponde ao lado de 5\\ \mathrm{m});
vetor do outro lado (inclinado com projeções em y e z): \overrightarrow{r}_v = (0,4,3) (projeções 4\\ \mathrm{m} em y e 3\\ \mathrm{m} em z).
O elemento de superfície orientado (vetor área) é dado pelo produto vetorial das duas arestas:
onde u e v são parâmetros variando de 0 a 1 para percorrer o paralelogramo. Observação: o sinal final das integrais indicará a direção do fluxo relativo a esse normal escolhido.]
Passo 3
Parametrização da superfície e expressão do campo sobre ela.
Portanto a vazão volumétrica através da superfície é
Q=-30\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Interpretação do sinal: o negativo significa que o fluxo atravessa a superfície no sentido oposto ao do vetor normal escolhido (0,-15,20). O módulo do fluxo é 30\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Passo 4
Fórmula e cálculo do fluxo de quantidade de movimento (vetorial).
A expressão que usamos para o fluxo de quantidade de movimento que atravessa uma superfície é
onde \rho é a densidade (aqui \rho=1\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3). Explicando: \overrightarrow{V} é o vetor velocidade, e \overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{S} dá a componente volumétrica que atravessa por unidade de tempo; multiplicando por \rho e por \overrightarrow{V} obtemos o fluxo de quantidade de movimento (vetor), com unidades \mathrm{kg\cdot m/s^2} (N).
Já temos \overrightarrow{V}(u,v)=(5u,4v,0) e \overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{S}=-60v\,du\,dv. Então o integrando vetorial é
O sinal negativo nas componentes indica direção oposta ao sentido positivo dos eixos, consistente com o sinal da vazão (fluxo saindo no sentido oposto ao normal escolhido).
Passo 5
Resumo físico e observações finais:
A área do paralelogramo é 25\\ \mathrm{m}^2.
A vazão volumétrica através da superfície é Q=-30\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}. O módulo é 30\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}; o sinal negativo indica direção oposta ao normal (0,-15,20) usado na parametrização.
O fluxo de quantidade de movimento (vetor) através da superfície é \overrightarrow{M}=(-75,\,-80,\,0)\\ \mathrm{N} (com \rho=1\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3).
Você fez certo em mandar só o enunciado e a figura — com essa parametrização as integrais ficam diretas. Se quiser, eu posso reescrever as respostas usando o normal unitário (para interpretar o sinal como “para fora” ou “para dentro”) ou dar o módulo e direção do vetor \overrightarrow{M} numa forma angular. Força aí — tá indo bem!