João colocou 100 moedas iguais em um pote e pediu a seus filhos, de idades distintas, que cada um deles colocasse no pote uma moeda para cada irmão mais velho e retirasse do pote duas moedas para cada irmão mais novo. Quando todos os filhos terminaram de fazer isso, restaram no pote 22 moedas. Quantos são os filhos de João?
(A) 5
(B) 7
© 10
(D) 13
(E) 15
(A) 5
(B) 7
© 10
(D) 13
(E) 15
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo! O João colocou 100 moedas num pote e pediu para cada um dos seus filhos fazer duas coisas:
- Colocar uma moeda no pote para cada irmão mais velho.
- Tirar duas moedas do pote para cada irmão mais novo.
Depois que todos fizeram isso, ficaram só 22 moedas no pote. A pergunta é: quantos filhos o João tem? Vamos precisar usar um pouco de lógica e álgebra pra resolver isso.
Passo 2
Vamos chamar o número de filhos de João de
. Cada filho vai ter um número diferente de irmãos mais velhos e mais novos, já que todos têm idades distintas.
- O filho mais velho não tem irmãos mais velhos, então ele vai não colocar nenhuma moeda para isso, mas vai tirar moedas para cada irmão mais novo.
- O filho do meio vai ter alguns irmãos mais velhos e alguns mais novos.
- O filho mais novo só vai ter irmãos mais velhos, então só vai colocar moedas, não vai tirar nenhuma.
Passo 3
Para cada filho, a mudança no número de moedas no pote depende de quantos irmãos mais velhos e mais novos ele tem. Vamos detalhar isso:
- Irmãos mais velhos (
): Cada irmão mais velho faz o filho colocar 1 moeda no pote. - Irmãos mais novos (
): Cada irmão mais novo faz o filho tirar 2 moedas do pote.
Então, para o
-ésimo filho, a mudança no pote é:
Passo 4
Agora, vamos somar as mudanças de todos os filhos. A soma dessas mudanças vai ser igual à diferença entre as moedas que começaram (100) e as que sobraram (22):
Passo 5
Vamos simplificar essa soma:
Agora, separamos a soma:
Sabemos que:
Substituindo:
Passo 6
Multiplicamos tudo por 2 pra eliminar a fração:
Expandindo:
Simplificando:
Multiplicando por -1:
Passo 7
Agora temos uma equação quadrática:
Resolvemos usando a fórmula de Bhaskara:
As soluções são:
Como o número de filhos não pode ser negativo, descartamos
.
Resposta
13 filhos. A opção correta é a letra (D).