João colocou 100 moedas iguais em um pote e pediu a seus filhos, de idades distintas, que cada um deles colocasse no pote uma moeda para cada irmão mais velho e retirasse do pote duas moedas para cada irmão mais novo. Quando todos os filhos terminaram de fazer isso, restaram no pote 22 moedas. Quantos são os filhos de João?
(A) 5
(B) 7
© 10
(D) 13
(E) 15

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo! O João colocou 100 moedas num pote e pediu para cada um dos seus filhos fazer duas coisas:
  1. Colocar uma moeda no pote para cada irmão mais velho.
  2. Tirar duas moedas do pote para cada irmão mais novo.
Depois que todos fizeram isso, ficaram só 22 moedas no pote. A pergunta é: quantos filhos o João tem? Vamos precisar usar um pouco de lógica e álgebra pra resolver isso.

Passo 2

Vamos chamar o número de filhos de João de . Cada filho vai ter um número diferente de irmãos mais velhos e mais novos, já que todos têm idades distintas.
  • O filho mais velho não tem irmãos mais velhos, então ele vai não colocar nenhuma moeda para isso, mas vai tirar moedas para cada irmão mais novo.
  • O filho do meio vai ter alguns irmãos mais velhos e alguns mais novos.
  • O filho mais novo só vai ter irmãos mais velhos, então só vai colocar moedas, não vai tirar nenhuma.

Passo 3

Para cada filho, a mudança no número de moedas no pote depende de quantos irmãos mais velhos e mais novos ele tem. Vamos detalhar isso:
  • Irmãos mais velhos ( Moedas adicionadas = (i - 1) times 1 ): Cada irmão mais velho faz o filho colocar 1 moeda no pote.
  • Irmãos mais novos ( Moedas retiradas = (n - i) times 2 ): Cada irmão mais novo faz o filho tirar 2 moedas do pote.
Então, para o Mudança total = (i - 1) - 2(n - i) -ésimo filho, a mudança no pote é:
ç

Passo 4

Agora, vamos somar as mudanças de todos os filhos. A soma dessas mudanças vai ser igual à diferença entre as moedas que começaram (100) e as que sobraram (22):
sumi=1^n [(i - 1) - 2(n - i)] = 22 - 100 = -78

Passo 5

Vamos simplificar essa soma:
sumi=1^n (i - 1 - 2n + 2i) = sumi=1^n (3i - 2n - 1) = -78
Agora, separamos a soma:
3sumi=1^n i - 2nsumi=1^n 1 - sumi=1^n 1 = -78
Sabemos que:
sumi=1^n i = n(n + 1)2
sumi=1^n 1 = n
Substituindo:
3 times n(n + 1)2 - 2n times n - n = -78
3n(n + 1)2 - 2n^2 - n = -78

Passo 6

Multiplicamos tudo por 2 pra eliminar a fração:
3n(n + 1) - 4n^2 - 2n = -156
Expandindo:
3n^2 + 3n - 4n^2 - 2n = -156
Simplificando:
-n^2 + n + 156 = 0
Multiplicando por -1:
n^2 - n - 156 = 0

Passo 7

Agora temos uma equação quadrática:
n^2 - n - 156 = 0
Resolvemos usando a fórmula de Bhaskara:
n = 1 pm raiz1 + 6242 = 1 pm 252
As soluções são:
n = 262 = 13 ou n = -242 = -12
Como o número de filhos não pode ser negativo, descartamos .

Resposta

13 filhos. A opção correta é a letra (D).

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