Verifique que a equação x^4-3 x^2+5 x+4=0 tem solução real.

Passo 1

Temos a equação x^4-3x^2+5x+4=0. O conteúdo é existência de raíz real de um polinômio e vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função contínua muda de sinal entre dois pontos, então existe pelo menos uma raiz real nesse intervalo.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=x^4-3x^2+5x+4
Como é um polinômio, f é contínua em todo R.

Passo 3

Calculamos o valor de f em dois pontos: primeiro em x=-1 e depois em x=0, para verificar mudança de sinal.
f(-1)=(-1)^4-3(-1)^2+5(-1)+4=1-3-5+4=-3<0
f(0)=0^4-3cdot0^2+5cdot0+4=4>0

Passo 4

Como f(-1)<0 e f(0)>0, pela continuidade e pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz c em (-1,0) tal que f(c)=0.

Resposta

Sim. A equação possui pelo menos uma solução real em (-1,0).

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