Nas seguintes funções vetoriais esboce o lugar geométrico.
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Passo 1
Nesta questão temos uma função vetorial f(t) = (cos 2t, cos t) para 0 ≤ t ≤ 2π. O conteúdo é lugar geométrico de uma curva paramétrica e vamos precisar eliminar o parâmetro t usando identidades trigonométricas.
Passo 2
Escrevendo as componentes, temos x = cos 2t e y = cos t. Usamos a identidade trigonométrica para cosseno do ângulo duplo:
Como y = cos t, podemos escrever cos²t = y². Substituindo em x = cos 2t, obtemos
Passo 3
A equação x = 2y² - 1 é a equação de uma parábola no plano xy. Além disso, como y = cos t e t varia de 0 a 2π, y percorre o intervalo [-1,1]. Logo o locus é apenas o trecho dessa parábola para y entre -1 e 1.
Passo 4
Podemos ainda observar a orientação do traçado: para t de 0 a π, y vai de 1 até -1, e para t de π a 2π o mesmo trecho é percorrido de volta, ou seja, a curva é traçada duas vezes.
Passo 5
Assim, o lugar geométrico é o segmento da parábola x = 2y² - 1, com y variando de -1 a 1, tendo vértice em (-1,0) e extremidades em (1,1) e (1,-1).
Resposta
O lugar geométrico é o trecho da parábola
a seguir, com y ∈ [−1,1]:
a seguir, com y ∈ [−1,1]: