João foi com os amigos em uma festa, onde o preço da lata de cerveja é \mathrm{R} \ 20,00 e da dose de tequila éé\mathrm{R} $10,00 . Ele tem um orçamento deç\mathrm{R} $ 100,00$ para gastar com essas bebidas. Suponha que ele já tomou uma lata de cerveja e uma dose de tequila. Além disso, ele estaria disposto a consumir mais três latas de cervejas e cinco doses de tequila.
a. Considerando os preços e a renda citados acima, defina a linha de orçamento de João.
b. Considerando o que ele já consumiu e o que ele gostaria de consumir, identifique as três cestas (combinações de cerveja e tequila) diferentes que ele poderia escolher.

Passo 1

O enunciado nos dá que o preço de uma lata de cerveja é \mathrm{R}\$20,00 e o de uma dose de tequila é \mathrm{R}\$10,00. João tem renda de \mathrm{R}\$100,00. Ele já consumiu 1 lata de cerveja e 1 dose de tequila, e está disposto a consumir até mais 3 latas e 5 doses. Precisamos (a) escrever sua reta de orçamento e (b) listar três cestas de consumo viáveis, levando em conta o que ele já tomou e o que quer tomar.

Passo 2

Denotando por B o número total de latas de cerveja e por T o número total de doses de tequila, a restrição orçamentária original é
20\,B \;+\;10\,T \;=\;100.
Podemos também escrever em forma de interceptos:
\frac{B}{5} \;+\;\frac{T}{10}\;=\;1.

Passo 3

Como ele já tomou 1 lata e 1 dose, já gastou
20\cdot1 \;+\;10\cdot1 \;=\;30.
Logo, sobra \mathrm{R}\$70,00 para o consumo adicional (b,t), onde b é o número de latas extras e t o nº de doses extras.

Passo 4

A reta de orçamento para o consumo extra (b,t) é
20\,b \;+\;10\,t \;=\;70,
ou, em forma de interceptos,
\frac{b}{3{,}5} \;+\;\frac{t}{7}\;=\;1.
Mas ele só quer até b\le3 e t\le5. A interseção dessa reta com o retângulo [0,3]\times[0,5] vai de (3,1) a (1,5).

Passo 5

Três pontos inteiros nessa fronteira são:
  • Se b=3, então 10\,t=70-60\implies t=1.
  • Se b=2, então 10\,t=70-40\implies t=3.
  • Se b=1, então 10\,t=70-20\implies t=5.
    Esses são todos \le(3,5), portanto viáveis. Somando o consumo já realizado (1,1), obtemos as três cestas totais:
    1. (1+3,\;1+1) = (4,\;2)
    2. (1+2,\;1+3) = (3,\;4)
    3. (1+1,\;1+5) = (2,\;6)

Resposta

a. A reta de orçamento é
20\,B \;+\;10\,T \;=\;100.
b. Três cestas diferentes que ele pode escolher (cervejas, tequilas) são:
(4, 2), (3, 4) e (2, 6).

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