(João Paulo) Os planos do sistema HC do tipo 10 10 são chamados de planos prismáticos do tipo I. Quantos desses planos há e quais são os seus índices?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão pede.
Enunciado resumido: no empacotamento hexagonal (hcp), existe a família de planos prismáticos tipo I, que em Miller–Bravais é indicada por {10 \overline{1} 0}. A pergunta é quantos planos dessa família existem e quais são os índices de cada um.
Conteúdo que vamos usar:
  • Sistema de índices Miller–Bravais (h k i l) para cristal hexagonal
  • Regra i = –(h + k)
  • Como gerar as faces equivalentes por rotação de 60° em torno do eixo c
O que precisamos ter em mente:
  1. Em hexagonal, cada plano é dado por quatro índices (h k i l).
  2. Para qualquer combinação (h k i), o “i” não é independente, é i = –(h + k).
  3. A família {…} contém todas as rotações de 60° em torno do eixo c (e às vezes inversões de sinal) que levam um plano a outro equivalente.

Passo 2

Entendendo o plano base:
O plano tipo I dado é (1 0 \overline{1} 0). Aqui h=1, k=0, então i = –(1+0) = –1, e l=0. Ele é paralelo ao eixo c porque l=0.
Agora, devido à simetria hexagonal, podemos girar esse plano de 60° em torno do c seis vezes (360°/6 = 60°) para obter todas as faces equivalentes. Assim já fica claro que o número de planos é 6.

Passo 3

Como executar as rotações de 60°?
Cada rotação em h,k,i corresponde a permutar e mudar sinais de (h k i) de modo que continue valendo h+k+i=0. A “rotação” num hexágono troca h→k, k→i, i→h e mantém l.
Partindo de (1 0 \overline{1}), temos:
  1. ( 1 0 \overline{1} ) → o original
  2. ( 0 \overline{1} 1 ) → trocando (h→k, k→i, i→h)
  3. (\overline{1} 1 0 )
  4. (–1 0 1 )
  5. ( 0 1 \overline{1})
  6. ( 1 \overline{1} 0 )
Em cada um, l=0.

Passo 4

Só para garantir que essas seis combinações são distintas e completas:
  • ( 1 0 \overline{1} 0)
  • ( 0 \overline{1} 1 0)
  • (\overline{1} 1 0 0)
  • (\overline{1} 0 1 0)
  • ( 0 1 \overline{1} 0)
  • ( 1 \overline{1} 0 0)
Elas têm todas h+k+i = 0 e l = 0, e representam as seis faces prismáticas tipo I.

Resposta

Existem 6 planos prismáticos do tipo I. Seus índices Miller–Bravais são:
(1 0 \overline{1} 0), (0 \overline{1} 1 0), (\overline{1} 1 0 0), (\overline{1} 0 1 0), (0 1 \overline{1} 0) e (1 \overline{1} 0 0).

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