Um jogador de futebol está na borda de um prédio de 12 m de altura. Ele chuta a bola de massa 620 gramas fazendo um ângulo de 60^circ com o plano horizontal, aplicando uma força de 345 N por 0,24 segundos que é o tempo que o pé fica em contato com a bola.
Determine o vetor velocidade da bola quando ela atinge o chão ?
Use g=9,81 m / s^2 para a aceleração da gravidade e despreze fontes de atrito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um jogador de futebol que chuta uma bola de um prédio de 12 metros de altura. A bola tem uma massa de 620 gramas e é chutada com uma força de 345 N por 0,24 segundos, formando um ângulo de 60^circ com o chão. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade da bola quando ela atinge o chão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Física do Movimento, especificamente de cinemática e dinâmica, como força, aceleração, e movimento de projéteis. Vamos precisar das fórmulas de impulso, decomposição de vetores e equações do movimento uniforme acelerado.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir a velocidade inicial que a força aplicada ao chute deu para a bola. Para isso, usamos a fórmula do impulso:
Impulso = F times De
Onde:
  • F = 345, N (força aplicada)
  • De (tempo de contato)
  • m = 0,620, kg (massa da bola)
  • De é a variação de velocidade que queremos encontrar.
Rearranjando a fórmula para encontrar De:
De
Então, a velocidade inicial v0 que a bola ganha é de aproximadamente 133,226, m/s na direção do chute.

Passo 3

Agora, vamos decompor essa velocidade inicial nos componentes horizontal ( v0x) e vertical ( v0y) usando o ângulo de 60^circ. Para isso, usamos funções trigonométricas:
v0x = v0 cos theta
v0y = v0 sin theta
Substituindo os valores:
v0x = 133,226, m/s times cos 60^circ = 133,226, m/s times 0,5 approx 66,613, m/s
v0y = 133,226, m/s times sin 60^circ = 133,226, m/s times 0,8660 approx 115,297, m/s
Então, a componente horizontal da velocidade é aproximadamente 66,613, m/s e a componente vertical é aproximadamente 115,297, m/s para cima.

Passo 4

Agora, precisamos considerar o movimento da bola até ela atingir o chão. Vamos analisar a componente vertical separadamente, pois é a que sofre a aceleração da gravidade.
A equação do movimento vertical é:
y = y0 + v0y t - 12 g t^2
Onde:
  • y é a posição final (no chão, y = 0)
  • y0 = 12, m (altura do prédio)
  • v0y approx 115,297, m/s
  • g = 9,81, m/s^2
Substituindo:
0 = 12, m + 115,297, m/s times t - 12 times 9,81, m/s^2 times t^2
Essa é uma equação quadrática do tipo at^2 + bt + c = 0, onde:
a = -12 times 9,81 = -4,905
b = 115,297
c = 12
Vamos resolver essa equação para encontrar o tempo t que a bola leva para atingir o chão.

Passo 5

Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo os valores:
t = -115,297 pm raiz(115,297)^2 - 4 times (-4,905) times 122 times (-4,905)
Calculando o discriminante:
De
Agora, calculando as raízes:
t = -115,297 pm raiz13535,38-9,81
raiz13535,38 approx 116,38
Então:
t = -115,297 + 116,38-9,81 approx 1,083-9,81 approx -0,110, s
E
t = -115,297 - 116,38-9,81 approx -231,677-9,81 approx 23,63, s
Desprezamos o tempo negativo, então o tempo que a bola leva para atingir o chão é aproximadamente 23,63, s.

Passo 6

Agora que temos o tempo total de voo, vamos calcular a velocidade vertical da bola no instante em que ela atinge o chão. Usamos a seguinte equação da velocidade:
vy = v0y - g t
Substituindo os valores:
vy = 115,297, m/s - 9,81, m/s^2 times 23,63, s approx 115,297, m/s - 231,904, m/s approx -116,607, m/s
O sinal negativo indica que a direção da velocidade é para baixo.

Passo 7

A componente horizontal da velocidade ( vx) permanece constante durante todo o trajeto, já que não há aceleração horizontal (desprezamos o atrito). Então:
vx approx 66,613, m/s
Agora, temos as componentes da velocidade no instante em que a bola atinge o chão:
vx approx 66,613, m/s
vy approx -116,607, m/s

Resposta

A velocidade da bola quando ela atinge o chão é aproximadamente v = (66,613, m/s) i - (116,607, m/s) j.

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