Um jogador de futebol está na borda de um prédio de 12 m de altura. Ele chuta a bola de massa 620 gramas fazendo um ângulo de
com o plano horizontal, aplicando uma força de 345 N por 0,24 segundos que é o tempo que o pé fica em contato com a bola.
Determine o vetor velocidade da bola quando ela atinge o chão ?
Use
para a aceleração da gravidade e despreze fontes de atrito.
Determine o vetor velocidade da bola quando ela atinge o chão ?
Use
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um jogador de futebol que chuta uma bola de um prédio de 12 metros de altura. A bola tem uma massa de 620 gramas e é chutada com uma força de 345 N por 0,24 segundos, formando um ângulo de
com o chão. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade da bola quando ela atinge o chão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Física do Movimento, especificamente de cinemática e dinâmica, como força, aceleração, e movimento de projéteis. Vamos precisar das fórmulas de impulso, decomposição de vetores e equações do movimento uniforme acelerado.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir a velocidade inicial que a força aplicada ao chute deu para a bola. Para isso, usamos a fórmula do impulso:
Onde:
-
(força aplicada) -
(tempo de contato) -
(massa da bola) -
é a variação de velocidade que queremos encontrar.
Rearranjando a fórmula para encontrar
:
Então, a velocidade inicial
que a bola ganha é de aproximadamente
na direção do chute.
Passo 3
Agora, vamos decompor essa velocidade inicial nos componentes horizontal (
) e vertical (
) usando o ângulo de
. Para isso, usamos funções trigonométricas:
Substituindo os valores:
Então, a componente horizontal da velocidade é aproximadamente
e a componente vertical é aproximadamente
para cima.
Passo 4
Agora, precisamos considerar o movimento da bola até ela atingir o chão. Vamos analisar a componente vertical separadamente, pois é a que sofre a aceleração da gravidade.
A equação do movimento vertical é:
Onde:
-
é a posição final (no chão, ) -
(altura do prédio) -
-
Substituindo:
Essa é uma equação quadrática do tipo
, onde:
Vamos resolver essa equação para encontrar o tempo
que a bola leva para atingir o chão.
Passo 5
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Substituindo os valores:
Calculando o discriminante:
Agora, calculando as raízes:
Então:
E
Desprezamos o tempo negativo, então o tempo que a bola leva para atingir o chão é aproximadamente
.
Passo 6
Agora que temos o tempo total de voo, vamos calcular a velocidade vertical da bola no instante em que ela atinge o chão. Usamos a seguinte equação da velocidade:
Substituindo os valores:
O sinal negativo indica que a direção da velocidade é para baixo.
Passo 7
A componente horizontal da velocidade (
) permanece constante durante todo o trajeto, já que não há aceleração horizontal (desprezamos o atrito). Então:
Agora, temos as componentes da velocidade no instante em que a bola atinge o chão:
Resposta
A velocidade da bola quando ela atinge o chão é aproximadamente
.