Um circuito RL começa a ser carregado por uma bateria em
.
a ddp entre os terminais do indutor vale
da força eletromotriz (fem) da bateria, desprezando qualquer resistência interna da bateria,
Se a corrente final no circuito vale 5 A , calcule a corrente em
.
Se a corrente final no circuito vale 5 A , calcule a corrente em
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um circuito RL, que é composto por um resistor ® e um indutor (L), começando a ser ligado a uma bateria no tempo $ t = 0 $. Em $ t = 2 $ segundos, a diferença de potencial (ddp) no indutor é 90% da força eletromotriz (fem) da bateria. Sabemos também que a corrente final que o circuito alcança quando já está totalmente carregado é de 5 A. Nosso objetivo é descobrir qual é a corrente no circuito exatamente aos 2 segundos após ligar a bateria.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos RL em regime transitório, especificamente a equação da corrente em função do tempo. Precisaremos conhecer a relação entre a fem, a corrente, e o tempo de carga em um circuito RL.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação que descreve a corrente $ I(t) $ em um circuito RL quando uma bateria com fem $ \mathcal{E} $ é ligada:
Aqui:
- $ \mathcal{E} $ é a força eletromotriz da bateria,
- $ R $ é a resistência,
- $ L $ é a indutância,
- $ t $ é o tempo,
- $ e $ é a base dos logaritmos naturais.
Essa equação nos diz como a corrente aumenta com o tempo, começando de zero e se aproximando do valor final $ I_{final} = \frac{\mathcal{E}}{R} $.
Passo 3
Sabemos que a corrente final $ I_{final} $ é de 5 A. Então, podemos escrever:
Isso significa que a fem da bateria $ \mathcal{E} $ é igual a $ 5R $, mas como vamos trabalhar com porcentagens da fem, podemos manter $ \mathcal{E} $ na nossa equação principal.
Passo 4
A questão nos diz que, em $ t = 2 $ s, a ddp no indutor é 90% da fem. A ddp no indutor $ V_L $ é dada por:
Segundo a questão:
Substituindo:
Isso simplifica para:
E como $ I_{final} = \frac{\mathcal{E}}{R} = 5 , A $, então $ \mathcal{E} = 5R $. Substituindo:
Passo 5
No entanto, isso nos dá a corrente quando $ V_L = 0,9 \mathcal{E} $, mas queremos relacionar isso com a equação do tempo para um circuito RL. Vamos usar a equação da corrente novamente:
Sabemos que $ I(t) = 0,5 , A $ e $ I_{final} = 5 , A $. Então:
Dividindo ambos os lados por 5:
Rearranjando:
Passo 6
Agora, vamos resolver para $ \frac{R}{L} $. Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Calculando $ \ln(0,9) $:
Então:
Passo 7
Agora que temos $ \frac{R}{L} $, podemos usar isso para encontrar a corrente aos 2 segundos, mas já calculamos que $ I(t) = 0,5 , A $ quando $ V_L = 0,9 \mathcal{E} $. Portanto, a corrente no circuito aos 2 segundos é de 0,5 A.
Resposta
A corrente no circuito aos 2 segundos é de 0,5 A.