Um circuito RL começa a ser carregado por uma bateria em t=0. Em t=2 s a ddp entre os terminais do indutor vale 90 % da força eletromotriz (fem) da bateria, desprezando qualquer resistência interna da bateria,
Se a corrente final no circuito vale 5 A , calcule a corrente em t=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um circuito RL, que é composto por um resistor ® e um indutor (L), começando a ser ligado a uma bateria no tempo $ t = 0 $. Em $ t = 2 $ segundos, a diferença de potencial (ddp) no indutor é 90% da força eletromotriz (fem) da bateria. Sabemos também que a corrente final que o circuito alcança quando já está totalmente carregado é de 5 A. Nosso objetivo é descobrir qual é a corrente no circuito exatamente aos 2 segundos após ligar a bateria.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos RL em regime transitório, especificamente a equação da corrente em função do tempo. Precisaremos conhecer a relação entre a fem, a corrente, e o tempo de carga em um circuito RL.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação que descreve a corrente $ I(t) $ em um circuito RL quando uma bateria com fem $ \mathcal{E} $ é ligada:
I(t)
Aqui:
  • $ \mathcal{E} $ é a força eletromotriz da bateria,
  • $ R $ é a resistência,
  • $ L $ é a indutância,
  • $ t $ é o tempo,
  • $ e $ é a base dos logaritmos naturais.
Essa equação nos diz como a corrente aumenta com o tempo, começando de zero e se aproximando do valor final $ I_{final} = \frac{\mathcal{E}}{R} $.

Passo 3

Sabemos que a corrente final $ I_{final} $ é de 5 A. Então, podemos escrever:
Ifinal
Isso significa que a fem da bateria $ \mathcal{E} $ é igual a $ 5R $, mas como vamos trabalhar com porcentagens da fem, podemos manter $ \mathcal{E} $ na nossa equação principal.

Passo 4

A questão nos diz que, em $ t = 2 $ s, a ddp no indutor é 90% da fem. A ddp no indutor $ V_L $ é dada por:
t = 2
Segundo a questão:
VL
Substituindo:
VL = E - I(t) R
Isso simplifica para:
VL = 0,9 E
E como $ I_{final} = \frac{\mathcal{E}}{R} = 5 , A $, então $ \mathcal{E} = 5R $. Substituindo:
E - I(t) R = 0,9 E

Passo 5

No entanto, isso nos dá a corrente quando $ V_L = 0,9 \mathcal{E} $, mas queremos relacionar isso com a equação do tempo para um circuito RL. Vamos usar a equação da corrente novamente:
VL = 0,9 E
Sabemos que $ I(t) = 0,5 , A $ e $ I_{final} = 5 , A $. Então:
I(t) = Ifinal (1 - e^-RL t)
Dividindo ambos os lados por 5:
I(t) = 0,5 , A
Rearranjando:
Ifinal = 5 , A

Passo 6

Agora, vamos resolver para $ \frac{R}{L} $. Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
RL
Calculando $ \ln(0,9) $:
-RL times 2 = ln(0,9)
Então:
ln(0,9)

Passo 7

Agora que temos $ \frac{R}{L} $, podemos usar isso para encontrar a corrente aos 2 segundos, mas já calculamos que $ I(t) = 0,5 , A $ quando $ V_L = 0,9 \mathcal{E} $. Portanto, a corrente no circuito aos 2 segundos é de 0,5 A.

Resposta

A corrente no circuito aos 2 segundos é de 0,5 A.

Exercícios relacionados