Um jogador de futebol vai tentar um gol a penaulti. Sua distância à trave é de 9,15 \mathrm{me} \mathrm{a} altura da trave é de 2,44 \mathrm{~m}. Se ele levanta a bola com um chute a uma velocidade inicial de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e ângulo de 30^{\circ} acima da horizontal, ele terá chance de fazer gol? Justifique sua resposta. Se não houver gol, a que distância da posição de chute a bola vai parar? Despreze a resistência do ar.

Passo 1

O enunciado pergunta se, com um chute inicial de velocidade \,20\\ \mathrm{m/s}\, e ângulo de \,30^\circ acima da horizontal, a bola passará por baixo da trave (ou seja, fará gol) quando atingir a linha do gol, que está a \,9,15\\ \mathrm{m}\, do ponto do chute; a trave tem altura \,2,44\\ \mathrm{m}. Se não for gol, pede-se a que distância da posição do chute a bola vai cair (alcance horizontal). Dados fornecidos (peguei do enunciado):
  • distância até a trave: \,x_{\text{trave}}=9,15\\ \mathrm{m}\,
  • altura da trave: \,y_{\text{trave}}=2,44\\ \mathrm{m}\,
  • velocidade inicial: \,v_0=20\\ \mathrm{m/s}\,
  • ângulo: \,\theta=30^\circ
  • desprezar resistência do ar; usar g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Conceito: num lançamento oblíquo sem resistência do ar, a componente horizontal é constante e a vertical sofre aceleração -g. As fórmulas são
v_{0x} = v_0\cos\theta,\qquad v_{0y} = v_0\sin\theta.
Aqui \,v_{0x}\, é a velocidade horizontal inicial (módulo), \,v_{0y}\, é a vertical inicial. Usando \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin30^\circ=\tfrac{1}{2}:
v_{0x} = 20\cos30^\circ = 20\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s},
v_{0y} = 20\sin30^\circ = 20\cdot\frac{1}{2} = 10\\ \mathrm{m/s}.
Valores numéricos aproximados:
v_{0x}\approx 10\cdot 1{,}73205 \approx 17{,}3205\\ \mathrm{m/s},\qquad v_{0y}=10{,}0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Para saber a altura da bola no plano do gol (a x=9,15\\ \mathrm{m}), primeiro encontramos o tempo que a bola demora a percorrer essa distância horizontal. Com movimento horizontal uniforme,
t = \frac{x_{\text{trave}}}{v_{0x}}.
Substituindo:
t = \frac{9,15}{10\sqrt{3}}\\ \mathrm{s}.
Vamos calcular numericamente:
v_{0x}\approx 17{,}3205\\ \mathrm{m/s}\quad\Rightarrow\quad t\approx \frac{9{,}15}{17{,}3205}\approx 0{,}5285\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Agora usamos a equação da altura em função do tempo (movimento vertical com aceleração constante):
y(t)=v_{0y}\,t-\frac{1}{2}gt^2,
onde y(t) é a altura em metros no instante t. Substituindo v_{0y}=10\\ \mathrm{m/s}, g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} e o t encontrado:
y(t)=10\cdot 0{,}5285 - \frac{1}{2}\cdot 9{,}8\cdot(0{,}5285)^2.
Calcule passo a passo:
10\cdot 0{,}5285 = 5{,}285\\ \mathrm{m},
(0{,}5285)^2\approx 0{,}2793,
\frac{1}{2}\cdot 9{,}8\cdot 0{,}2793 \approx 4{,}9\cdot 0{,}2793 \approx 1{,}368\\ \mathrm{m}.
Logo
y(t)\approx 5{,}285 - 1{,}368 = 3{,}917\\ \mathrm{m}.
Comparação com a altura da trave: \,3{,}917\\ \mathrm{m} > 2{,}44\\ \mathrm{m}. Interpretação: na posição da trave a bola está a cerca de \,3{,}92\\ \mathrm{m}\,, ou seja, bem acima da trave; portanto NÃO é gol — a bola passa por cima da trave.

Passo 5

Agora calculamos a distância horizontal total (alcance) onde a bola toca o solo novamente. Fórmula do tempo total de voo (quando parte e volta ao mesmo nível y=0) é
t_{\text{tot}} = \frac{2v_{0y}}{g}.
Explicação rápida: a velocidade vertical sobe, para no ápice e retorna; o tempo de subida é v_{0y}/g e o de descida igual, somando 2v_{0y}/g. Substituindo:
t_{\text{tot}}=\frac{2\cdot 10}{9{,}8}\approx \frac{20}{9{,}8}\approx 2{,}0408\\ \mathrm{s}.
O alcance horizontal é
R = v_{0x}\,t_{\text{tot}}.
Usando v_{0x}\approx 17{,}3205\\ \mathrm{m/s}:
R \approx 17{,}3205\cdot 2{,}0408 \approx 35{,}35\\ \mathrm{m}.
(Alternativamente, usando a fórmula R=\dfrac{v_0^2\sin(2\theta)}{g} obtém-se o mesmo resultado: R=\dfrac{400\sin60^\circ}{9{,}8}\approx 35{,}35\\ \mathrm{m}.)

Resposta

Não — a bola passa acima da trave: altura no plano do gol \approx 3{,}92\\ \mathrm{m} ( >2{,}44\\ \mathrm{m}).
A bola vai parar a uma distância horizontal de aproximadamente \,35{,}35\\ \mathrm{m}\, da posição do chute.

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