Um jogador de futebol vai tentar um gol a penaulti. Sua distância à trave é de
altura da trave é de
. Se ele levanta a bola com um chute a uma velocidade inicial de
e ângulo de
acima da horizontal, ele terá chance de fazer gol? Justifique sua resposta. Se não houver gol, a que distância da posição de chute a bola vai parar? Despreze a resistência do ar.
Passo 1
O enunciado pergunta se, com um chute inicial de velocidade
e ângulo de
acima da horizontal, a bola passará por baixo da trave (ou seja, fará gol) quando atingir a linha do gol, que está a
do ponto do chute; a trave tem altura
. Se não for gol, pede-se a que distância da posição do chute a bola vai cair (alcance horizontal). Dados fornecidos (peguei do enunciado):
- distância até a trave:
- altura da trave:
- velocidade inicial:
- ângulo:
- desprezar resistência do ar; usar
.
Passo 2
Vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Conceito: num lançamento oblíquo sem resistência do ar, a componente horizontal é constante e a vertical sofre aceleração
. As fórmulas são
Aqui
é a velocidade horizontal inicial (módulo),
é a vertical inicial. Usando
e
:
Valores numéricos aproximados:
Passo 3
Para saber a altura da bola no plano do gol (a
), primeiro encontramos o tempo que a bola demora a percorrer essa distância horizontal. Com movimento horizontal uniforme,
Substituindo:
Vamos calcular numericamente:
Passo 4
Agora usamos a equação da altura em função do tempo (movimento vertical com aceleração constante):
onde
é a altura em metros no instante
. Substituindo
,
e o
encontrado:
Calcule passo a passo:
Logo
Comparação com a altura da trave:
. Interpretação: na posição da trave a bola está a cerca de
, ou seja, bem acima da trave; portanto NÃO é gol — a bola passa por cima da trave.
Passo 5
Agora calculamos a distância horizontal total (alcance) onde a bola toca o solo novamente. Fórmula do tempo total de voo (quando parte e volta ao mesmo nível
) é
Explicação rápida: a velocidade vertical sobe, para no ápice e retorna; o tempo de subida é
e o de descida igual, somando
. Substituindo:
O alcance horizontal é
Usando
:
(Alternativamente, usando a fórmula
obtém-se o mesmo resultado:
.)
Resposta
Não — a bola passa acima da trave: altura no plano do gol
(
).
A bola vai parar a uma distância horizontal de aproximadamente da posição do chute.
A bola vai parar a uma distância horizontal de aproximadamente