O vetor posição de um objeto se movendo em um plano é dado por
r ?(t)=2 t^{3} i-t^{2} j
com a posição dada em metros e o tempo em segundos.
(a) Qual o vetor posição do objeto no instante de tempo t=3 s ?
(b) Qual o vetor deslocamento entre os instantes t=0 e t=2 s ? Faça um esboço dessevetor.
(c) Ache a expressão geral da velocidade em função do tempo. Qual a velocidade notempo \mathrm{t}=0 ?
(d) Qual a aceleração instantânea do objeto para o tempo t=2 s ?
(e) Encontre o vetor velocidade média entre os instantes de tempo \mathrm{t}=0 et =2 \mathrm{~s}.
Esboce este vetor.
(f) Encontre o vetor aceleração média entre os instantes de tempo \mathrm{t}=0 e \mathrm{t}=2 \mathrm{~s}.
Passo 1
O enunciado dá o vetor posição de um objeto no plano:
\mathbf{r}(t)=2 t^{3}\mathbf{i}-t^{2}\mathbf{j},
com posição em metros e tempo em segundos.
Perguntas pedidas:
(a) Qual o vetor posição no instante t=3\\ \text{s} ?
(b) Qual o vetor deslocamento entre t=0 e t=2\\ \text{s} ? Fazer um esboço desse vetor.
(c) Ache a expressão geral da velocidade \mathbf{v}(t). Qual a velocidade no tempo t=0 ?
(d) Qual a aceleração instantânea no tempo t=2\\ \text{s} ?
(e) Encontre o vetor velocidade média entre t=0 e t=2\\ \text{s}. Esboce esse vetor.
(f) Encontre o vetor aceleração média entre t=0 e t=2\\ \text{s}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\mathbf{r}(t)=2 t^{3}\mathbf{i}-t^{2}\mathbf{j}.
Valores de tempo que vamos usar: t=0, t=2 e t=3.
Passo 2
Conceitos necessários (bem didáticos, passo a passo):
Deslocamento entre dois instantes t_1,t_2 é a diferença das posições:
\Delta\mathbf{r}=\mathbf{r}(t_2)-\mathbf{r}(t_1).
Isto é um vetor que aponta da posição em t_1 até a posição em t_2.
Velocidade instantânea é a derivada temporal do vetor posição (derivamos cada componente):
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}.
Regra de derivação que vamos usar: para potências, \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}. A derivada é linear, então derivamos componente por componente.
Aceleração instantânea é a derivada da velocidade:
Observação intuitiva (curiosidade útil para prova): aqui \mathbf{a}(t) é linear em t (tem a forma 12t\mathbf{i}-2\mathbf{j}), então a aceleração média entre 0 e 2 resulta em \mathbf{a}(1) — ou seja, o valor no ponto médio do intervalo quando a função é linear. Isso pode ajudar a checar resultados rápido.