O vetor posição de um objeto se movendo em um plano é dado por
r ?(t)=2 t^{3} i-t^{2} j
com a posição dada em metros e o tempo em segundos.
(a) Qual o vetor posição do objeto no instante de tempo t=3 s ?
(b) Qual o vetor deslocamento entre os instantes t=0 e t=2 s ? Faça um esboço dessevetor.
(c) Ache a expressão geral da velocidade em função do tempo. Qual a velocidade notempo \mathrm{t}=0 ?
(d) Qual a aceleração instantânea do objeto para o tempo t=2 s ?
(e) Encontre o vetor velocidade média entre os instantes de tempo \mathrm{t}=0 et =2 \mathrm{~s}.
Esboce este vetor.
(f) Encontre o vetor aceleração média entre os instantes de tempo \mathrm{t}=0 e \mathrm{t}=2 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição de um objeto no plano:
\mathbf{r}(t)=2 t^{3}\mathbf{i}-t^{2}\mathbf{j},
com posição em metros e tempo em segundos.
Perguntas pedidas:
(a) Qual o vetor posição no instante t=3\\ \text{s} ?
(b) Qual o vetor deslocamento entre t=0 e t=2\\ \text{s} ? Fazer um esboço desse vetor.
(c) Ache a expressão geral da velocidade \mathbf{v}(t). Qual a velocidade no tempo t=0 ?
(d) Qual a aceleração instantânea no tempo t=2\\ \text{s} ?
(e) Encontre o vetor velocidade média entre t=0 e t=2\\ \text{s}. Esboce esse vetor.
(f) Encontre o vetor aceleração média entre t=0 e t=2\\ \text{s}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\mathbf{r}(t)=2 t^{3}\mathbf{i}-t^{2}\mathbf{j}.
Valores de tempo que vamos usar: t=0, t=2 e t=3.

Passo 2

Conceitos necessários (bem didáticos, passo a passo):
  • Deslocamento entre dois instantes t_1,t_2 é a diferença das posições:
\Delta\mathbf{r}=\mathbf{r}(t_2)-\mathbf{r}(t_1).
Isto é um vetor que aponta da posição em t_1 até a posição em t_2.
  • Velocidade instantânea é a derivada temporal do vetor posição (derivamos cada componente):
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}.
Regra de derivação que vamos usar: para potências, \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}. A derivada é linear, então derivamos componente por componente.
  • Aceleração instantânea é a derivada da velocidade:
\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}.
  • Velocidade média entre t_1 e t_2 é
\overline{\mathbf{v}}=\frac{\Delta\mathbf{r}}{\Delta t}=\frac{\mathbf{r}(t_2)-\mathbf{r}(t_1)}{t_2-t_1}.
  • Aceleração média entre t_1 e t_2 é
\overline{\mathbf{a}}=\frac{\Delta\mathbf{v}}{\Delta t}=\frac{\mathbf{v}(t_2)-\mathbf{v}(t_1)}{t_2-t_1}.
Agora que já sabemos o que usar e por quê, vamos aplicar isso aos valores do enunciado.

Passo 3

Parte (a): calcular \mathbf{r}(3).
Substituímos t=3 em cada componente de \mathbf{r}(t).
A componente x é 2 t^{3}. Para t=3,
2 t^{3}=2\cdot 3^{3}=2\cdot 27=54.
A componente y é -t^{2}. Para t=3,
-t^{2}=-(3^{2})=-(9)=-9.
Portanto,
\mathbf{r}(3)=54\mathbf{i}-9\mathbf{j}\quad\text{(metros)}.

Passo 4

Parte (b): deslocamento entre t=0 e t=2.
Primeiro calculamos \mathbf{r}(2) substituindo t=2:
2 t^{3}=2\cdot 2^{3}=2\cdot 8=16,
-t^{2}=-(2^{2})=-4.
Então
\mathbf{r}(2)=16\mathbf{i}-4\mathbf{j}.
Também calculamos \mathbf{r}(0):
2\cdot 0^{3}=0,\qquad -0^{2}=0,
logo \mathbf{r}(0)=\mathbf{0}.
O deslocamento é
\Delta\mathbf{r}=\mathbf{r}(2)-\mathbf{r}(0)=16\mathbf{i}-4\mathbf{j}-\mathbf{0}=16\mathbf{i}-4\mathbf{j}\quad\text{(metros)}.
Esboço do deslocamento (instruções para desenhar):
  • Marque o ponto de partida (0,0).
  • Marque o ponto final (16,-4) (x=16 para a direita, y=-4 para baixo).
  • Desenhe uma seta do ponto (0,0) até (16,-4). Essa seta é o vetor \Delta\mathbf{r}.
  • Se quiser, trace uma grade e faça a escala: por exemplo 1 cm = 2 m, assim o ponto (16,-4) fica em (8 cm, -2 cm) na folha.

Passo 5

Parte (c): expressão geral da velocidade \mathbf{v}(t) e \mathbf{v}(0).
Derivamos \mathbf{r}(t)=2 t^{3}\mathbf{i}-t^{2}\mathbf{j} componente a componente.
  • Derivada da componente x: \dfrac{d}{dt}(2 t^{3})=2\cdot \dfrac{d}{dt}(t^{3})=2\cdot 3 t^{2}=6 t^{2}.
  • Derivada da componente y: \dfrac{d}{dt}(-t^{2})=-\dfrac{d}{dt}(t^{2})=-2 t.
Portanto
\mathbf{v}(t)=6 t^{2}\mathbf{i}-2 t\mathbf{j}.
Agora \mathbf{v}(0): substituímos t=0:
\mathbf{v}(0)=6\cdot 0^{2}\mathbf{i}-2\cdot 0\mathbf{j}=\mathbf{0}.
Interpretação física rápida: no instante t=0 o objeto está com velocidade zero (parado naquele momento).

Passo 6

Parte (d): aceleração instantânea no tempo t=2\\ \text{s}.
A aceleração é a derivada da velocidade. Derivamos \mathbf{v}(t)=6 t^{2}\mathbf{i}-2 t\mathbf{j}:
  • Derivada da componente x: \dfrac{d}{dt}(6 t^{2})=6\cdot 2 t=12 t.
  • Derivada da componente y: \dfrac{d}{dt}(-2 t)=-2.
Assim a expressão geral é
\mathbf{a}(t)=12 t\mathbf{i}-2\mathbf{j}.
Avaliar em t=2:
\mathbf{a}(2)=12\cdot 2\mathbf{i}-2\mathbf{j}=24\mathbf{i}-2\mathbf{j}\quad\text{(m/s}^{2}\text{)}.

Passo 7

Parte (e): velocidade média entre t=0 e t=2.
Usamos a definição de velocidade média:
\overline{\mathbf{v}}=\frac{\mathbf{r}(2)-\mathbf{r}(0)}{2-0}=\frac{\Delta\mathbf{r}}{2}.
Já calculamos \Delta\mathbf{r}=16\mathbf{i}-4\mathbf{j}. Logo
\overline{\mathbf{v}}=\frac{16\mathbf{i}-4\mathbf{j}}{2}=8\mathbf{i}-2\mathbf{j}\quad\text{(m/s)}.
Esboço do vetor velocidade média (instruções):
  • Em um sistema de eixos, desenhe a seta que vai da origem até o ponto (8,-2) (pois é um vetor com componentes 8 e -2).
  • Essa seta representa a velocidade média; se preferir, faça a mesma escala usada para o deslocamento para comparar direções e magnitudes.

Passo 8

Parte (f): aceleração média entre t=0 e t=2.
Definição:
\overline{\mathbf{a}}=\frac{\mathbf{v}(2)-\mathbf{v}(0)}{2-0}=\frac{\mathbf{v}(2)-\mathbf{0}}{2}.
Calculamos \mathbf{v}(2) usando \mathbf{v}(t)=6 t^{2}\mathbf{i}-2 t\mathbf{j}:
\mathbf{v}(2)=6\cdot 2^{2}\mathbf{i}-2\cdot 2\mathbf{j}=6\cdot 4\mathbf{i}-4\mathbf{j}=24\mathbf{i}-4\mathbf{j}.
Portanto
\overline{\mathbf{a}}=\frac{24\mathbf{i}-4\mathbf{j}}{2}=12\mathbf{i}-2\mathbf{j}\quad\text{(m/s}^{2}\text{)}.
Observação intuitiva (curiosidade útil para prova): aqui \mathbf{a}(t) é linear em t (tem a forma 12t\mathbf{i}-2\mathbf{j}), então a aceleração média entre 0 e 2 resulta em \mathbf{a}(1) — ou seja, o valor no ponto médio do intervalo quando a função é linear. Isso pode ajudar a checar resultados rápido.

Resposta

(a) \mathbf{r}(3)=54\mathbf{i}-9\mathbf{j}
(b) \Delta\mathbf{r}=16\mathbf{i}-4\mathbf{j}
(c) \mathbf{v}(t)=6 t^{2}\mathbf{i}-2 t\mathbf{j}; \mathbf{v}(0)=\mathbf{0}
(d) \mathbf{a}(2)=24\mathbf{i}-2\mathbf{j}
(e) \overline{\mathbf{v}}=8\mathbf{i}-2\mathbf{j}
(f) \overline{\mathbf{a}}=12\mathbf{i}-2\mathbf{j}

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