1. Um jogador lança duas moedas não viciadas. Ele ganha R$5,00 se ocorrerem 2 caras, R$ 2,00 se ocorrer uma cara e R$ 1,00 se não ocorrer cara. Ache seu ganho esperado. 2,50

Passo 1

O enunciado diz que um jogador lança duas moedas justas e recebe um ganho X de acordo com o número de caras obtidas: R$5 para 2 caras, R$ 2 para 1 cara e R$ 1 para 0 caras. O conteúdo é variável aleatória discreta e cálculo de esperança.

Passo 2

Identificamos os eventos e suas probabilidades em um lançamento de duas moedas justas:
- 2 caras: \mathbb P(2\text{ caras})=\tfrac14
- 1 cara: \mathbb P(1\text{ cara})=\tfrac24=\tfrac12
- 0 caras: \mathbb P(0\text{ caras})=\tfrac14

Passo 3

Definimos a variável aleatória X (o ganho) com os valores:
- X=5 se saem 2 caras
- X=2 se sai 1 cara
- X=1 se não sai cara

Passo 4

Para calcular a esperança de X usamos a definição de variável discreta:
E[X] \;=\;\sum_i x_i\,p_i

Passo 5

Substituindo os valores:
E[X] =5\cdot\tfrac14 \;+\;2\cdot\tfrac12 \;+\;1\cdot\tfrac14 =\tfrac{5}{4}+1+\tfrac{1}{4} =\tfrac{10}{4} =2{,}5

Resposta

O ganho esperado é \text{R\$}\,2,50.

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