Ache a esperança, a variância e o desvio padrão das distribuições:
\mathrm{X}_{\mathrm{i}} 1 3 4 5
\mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{\mathrm{i}}\right) 0,4 0,1 0,2 0,3

Passo 1

O enunciado apresenta uma variável aleatória discreta X que assume os valores
1,\;3,\;4,\;5
com respectivas probabilidades
0,4,\;0,1,\;0,2,\;0,3.
Queremos calcular a esperança \mathbb{E}(X), a variância \operatorname{Var}(X) e o desvio padrão \sigma_{X}. Para isso, vamos usar as definições
\displaystyle \mathbb{E}(X)=\sum x_i\,P(X=x_i),
\displaystyle \operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-[\mathbb{E}(X)]^2,
\displaystyle \sigma_{X}=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}.

Passo 2

Calculamos a esperança usando
\mathbb{E}(X) =\sum_{i}x_i\,P(X=x_i) =1\cdot0,4+3\cdot0,1+4\cdot0,2+5\cdot0,3 =0,4+0,3+0,8+1,5 =3.

Passo 3

Para a variância precisamos de \mathbb{E}(X^2). Calculamos
\mathbb{E}(X^2) =\sum_{i}x_i^2\,P(X=x_i) =1^2\cdot0,4+3^2\cdot0,1+4^2\cdot0,2+5^2\cdot0,3 =0,4+0,9+3,2+7,5 =12.

Passo 4

Agora aplicamos
\operatorname{Var}(X) =\mathbb{E}(X^2)-[\mathbb{E}(X)]^2 =12-3^2 =12-9 =3.

Passo 5

O desvio padrão é a raiz da variância:
\sigma_{X} =\sqrt{\operatorname{Var}(X)} =\sqrt{3} \approx1,732.

Resposta

\mathbb{E}(X)=3 \operatorname{Var}(X)=3 \sigma_{X}=\sqrt{3}\approx1,732

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