As variáveis Aleatórias X e Y são independentes e têm as seguintes distribuições:
X \mathrm{P}(\mathrm{X})
2 0,3
3 0,5
4 0,2
Y \mathrm{P}(\mathrm{Y})
1 0,2
2 0,8
Ache a distribuição conjunta de (X, Y).

Passo 1

O enunciado dá duas variáveis aleatórias independentes X e Y com distribuições marginais conhecidas e pede a distribuição conjunta. Como são independentes, vale
P(X=x,Y=y)=P(X=x)\,P(Y=y).

Passo 2

Anotamos as probabilidades marginais:
P(X=2)=0,3,\quad P(X=3)=0,5,\quad P(X=4)=0,2,
P(Y=1)=0,2,\quad P(Y=2)=0,8.

Passo 3

Calculamos cada probabilidade conjunta pelo produto das marginais:
P(X=2,Y=1)=0,3\cdot0,2=0,06,\quad P(X=2,Y=2)=0,3\cdot0,8=0,24,
P(X=3,Y=1)=0,5\cdot0,2=0,10,\quad P(X=3,Y=2)=0,5\cdot0,8=0,40,
P(X=4,Y=1)=0,2\cdot0,2=0,04,\quad P(X=4,Y=2)=0,2\cdot0,8=0,16.

Passo 4

Organizando em tabela, temos
\begin{array}{c|cc} X\backslash Y & 1 & 2\\hline 2 & 0,06 & 0,24\\\\ 3 & 0,10 & 0,40\\\\ 4 & 0,04 & 0,16 \end{array}

Resposta

A distribuição conjunta P_{X,Y}(x,y) está dada pela tabela acima, isto é,
P_{X,Y}(2,1)=0,06,\;P_{X,Y}(2,2)=0,24,\;P_{X,Y}(3,1)=0,10,\;P_{X,Y}(3,2)=0,40,\;P_{X,Y}(4,1)=0,04,\;P_{X,Y}(4,2)=0,16.

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