Um jogador A paga \mathrm{R} \ 5,00 a B e lança um dado. Se sair face 3, ganhaç\mathrm{R} $20,00 . Se sair faces 4,5 ou 6 , perde. Se sair faces 1 ou 2 , tem o direito de jogar novamente. Desta vez lança dois dados. Se sair duas faces 6, ganhaç\mathrm{R} $ 50,00 . Se sair uma face 6, recebe o dinheiro pago de volta. Nos demais casos, perde. SejaX$ o lucro líquido do jogador A nesse jogo. Determinar:
a) Distribuição de probabilidade de X;
b) E(X);
c) \operatorname{VAR}(X);
d) \sigma_{X}.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
  • (a) achar a distribuição de probabilidade de X, onde X é o lucro líquido do jogador A;
  • (b) calcular E(X);
  • (c) calcular \operatorname{VAR}(X);
  • (d) calcular \sigma_X (desvio padrão).
Informações do enunciado (listas claras dos dados dados):
  • Para jogar, o jogador A paga 5 (reais) a B antes de lançar o dado. Isso significa que, sempre que o jogo começa, o jogador A já teve uma saída de 5; portanto o lucro líquido X será o prêmio recebido menos 5.
  • Primeiro lançamento: joga um dado (um dado justo com seis faces).
    • Se sair face 3: recebe 20.
    • Se sair faces 4,5 ou 6: não recebe nada (perde o que pagou).
    • Se sair faces 1 ou 2: tem direito a um segundo lance (desta vez lança dois dados).
  • Segundo lançamento (apenas se no primeiro saiu 1 ou 2), com dois dados:
    • Se sair duas faces 6: recebe 50.
    • Se sair exatamente uma face 6: recebe de volta o dinheiro pago ( 5).
    • Nos demais casos (nenhum 6): não recebe nada (perde o que pagou).
O que precisamos explícito na resolução: transformar essas regras em possíveis valores de X (lucro líquido) e calcular as probabilidades correspondentes; depois aplicar as fórmulas de esperança e variância.

Passo 2

Determinar os possíveis valores de X (lucro líquido) a partir das regras. Lembrando: X= (prêmio recebido) -5.
  • Se no primeiro lançamento sai 3: prêmio 20, logo X = 20 - 5 = 15.
  • Se no primeiro lançamento sai 4,5 ou 6: não recebe prêmio, logo X = 0 - 5 = -5.
  • Se no primeiro lançamento sai 1 ou 2 e no segundo (dois dados) saem duas faces 6: prêmio 50, logo X = 50 - 5 = 45.
  • Se no primeiro lançamento sai 1 ou 2 e no segundo sai exatamente uma face 6: recebe o 5 de volta, logo X = 5 - 5 = 0.
  • Se no primeiro lançamento sai 1 ou 2 e no segundo não sai nenhum 6: não recebe prêmio, logo X = 0 - 5 = -5.
Portanto os valores possíveis de X são
\{\,15,\;45,\;0,\;-5\,\}.

Passo 3

Calcular probabilidades elementares do primeiro lançamento (dado justo):
P(\text{primeiro} = 3) = \frac{1}{6}, \qquad P(\text{primeiro} \in\{4,5,6\}) = \frac{3}{6}=\frac{1}{2}, \qquad P(\text{primeiro} \in\{1,2\}) = \frac{2}{6}=\frac{1}{3}.

Passo 4

Calcular probabilidades do resultado no segundo lançamento (dois dados), condicionadas a ter chegado lá.
Para dois dados justos e independentes:
  • Probabilidade de duas faces 6: P(\text{duas }6)=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}.
  • Probabilidade de exatamente uma face 6: escolher qual dado é 6 (2 formas) e o outro não ser 6: P(\text{exatamente uma }6)=2\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}.
  • Probabilidade de nenhum 6: P(\text{nenhuma }6)=\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{36}.
Esses valores somam \tfrac{1}{36}+\tfrac{5}{18}+\tfrac{25}{36}=1, conferindo.

Passo 5

Usar a regra da probabilidade total (multiplicar pela probabilidade de chegar ao segundo lançamento, que é \tfrac{1}{3}) para obter probabilidades finais de cada valor de X.
  1. X=15 acontece só quando o primeiro lançamento é 3. Logo
P(X=15)=P(\text{primeiro}=3)=\frac{1}{6}.
  1. X=45 acontece quando o primeiro foi 1 ou 2 e no segundo saem duas 6. Logo
P(X=45)=P(\text{primeiro}\in\{1,2\})\cdot P(\text{duas }6)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{36}=\frac{1}{108}.
  1. X=0 acontece quando o primeiro foi 1 ou 2 e no segundo sai exatamente uma 6. Logo
P(X=0)=\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{18}=\frac{5}{54}=\frac{10}{108}.
  1. X=-5 acontece em dois casos disjuntos: (i) primeiro em \{4,5,6\}; (ii) primeiro em \{1,2\} e no segundo nenhum 6. Assim
P(X=-5)=P(\text{primeiro}\in\{4,5,6\})+\frac{1}{3}\cdot\frac{25}{36} =\frac{1}{2}+\frac{25}{108}.
Colocando em denominador comum 108:
P(X=-5)=\frac{54}{108}+\frac{25}{108}=\frac{79}{108}.
Verificação rápida da soma das probabilidades (todas em /108):
P(X=15)=\frac{18}{108},\quad P(X=45)=\frac{1}{108},\quad P(X=0)=\frac{10}{108},\quad P(X=-5)=\frac{79}{108},
e 18+1+10+79=108, portanto somam 1. Tudo consistente.

Passo 6

Resumindo a distribuição de probabilidade de X (apresentação direta):
\begin{aligned} P(X=15)&=\frac{1}{6}=\frac{18}{108}\approx 0{,}16666\ldots,\\[4pt] P(X=45)&=\frac{1}{108}\approx 0{,}009259\ldots,\\[4pt] P(X=0)&=\frac{5}{54}=\frac{10}{108}\approx 0{,}092592\ldots,\\[4pt] P(X=-5)&=\frac{79}{108}\approx 0{,}73148\ldots. \end{aligned}]

Passo 7

Calcular E(X). Fórmula da esperança para variável discreta:
E(X)=\sum_x x\,P(X=x).
Aplicando com os valores:
Usando denominador 108 para facilitar somas:
\begin{aligned} E(X) &=15\cdot\frac{18}{108}+(-5)\cdot\frac{79}{108}+45\cdot\frac{1}{108}+0\cdot\frac{10}{108}\\[4pt] &=\frac{15\cdot18-5\cdot79+45\cdot1+0}{108}\\[4pt] &=\frac{270-395+45}{108}=\frac{-80}{108}=\frac{-20}{27}. \end{aligned}
Em valor decimal:
E(X)= -\frac{20}{27}\approx -0{,}740740\ldots
Interpretação curta: em média o jogador A perde cerca de 0{,}74 (reais) por partida. Força: é um valor negativo, então o jogo é desfavorável ao jogador A em longo prazo.]

Passo 8

Calcular \operatorname{VAR}(X). Lembrando a fórmula
\operatorname{VAR}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2.
Primeiro calcular E(X^2)=\sum x^2 P(X=x).
Calcular cada termo x^2P(X=x):
\begin{aligned} 15^2\cdot P(X=15)&=225\cdot\frac{18}{108}=\frac{4050}{108},\\[4pt] (-5)^2\cdot P(X=-5)&=25\cdot\frac{79}{108}=\frac{1975}{108},\\[4pt] 45^2\cdot P(X=45)&=2025\cdot\frac{1}{108}=\frac{2025}{108},\\[4pt] 0^2\cdot P(X=0)&=0. \end{aligned}
Somando:
E(X^2)=\frac{4050+1975+2025}{108}=\frac{8050}{108}=\frac{4025}{54}.
Já temos E(X)= -\dfrac{20}{27}, então
[E(X)]^2=\left(-\frac{20}{27}\right)^2=\frac{400}{729}.
Agora calcular a diferença. Para subtrair, coloque em denominador comum 2916 (que é 4\cdot729 ou 27\cdot108):
E(X^2)=\frac{8050}{108}=\frac{8050\cdot27}{108\cdot27}=\frac{217350}{2916}, \qquad [E(X)]^2=\frac{400}{729}=\frac{400\cdot4}{729\cdot4}=\frac{1600}{2916}.
Logo
\operatorname{VAR}(X)=\frac{217350-1600}{2916}=\frac{215750}{2916}.
Podemos simplificar dividindo por 2:
\operatorname{VAR}(X)=\frac{107875}{1458}.
Valor decimal aproximado:
\operatorname{VAR}(X)\approx 73{,}988344\ldots]

Passo 9

Calcular \sigma_X=\sqrt{\operatorname{VAR}(X)}. Tomando a raiz:
\sigma_X=\sqrt{\frac{107875}{1458}}\approx \sqrt{73{,}988344}\approx 8{,}602.
Unidade: mesmas unidades de X (reais).
Resumo das interpretações rápidas: o jogo dá um pequeno prejuízo médio por partida ao jogador A (expectativa negativa), mas com grande variabilidade (desvio padrão alto), o que ocorre porque há pequenas probabilidades de prêmios altos.

Resposta

(a) P(X=15)=\dfrac{1}{6},\;P(X=45)=\dfrac{1}{108},\;P(X=0)=\dfrac{5}{54},\;P(X=-5)=\dfrac{79}{108}
(b) E(X)=-\dfrac{20}{27}\approx -0{,}740740
(c) \operatorname{VAR}(X)=\dfrac{107875}{1458}\approx 73{,}988344
(d) \sigma_X\approx 8{,}602

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