Um jogador A paga
5,00
\mathrm{R} $20,00
\mathrm{R} $ 50,00
X$ o lucro líquido do jogador A nesse jogo. Determinar:
a) Distribuição de probabilidade de
;
b)
;
c)
;
d)
.
a) Distribuição de probabilidade de
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas:
- (a) achar a distribuição de probabilidade de
, onde é o lucro líquido do jogador ; - (b) calcular
; - (c) calcular
; - (d) calcular
(desvio padrão).
Informações do enunciado (listas claras dos dados dados):
- Para jogar, o jogador
paga (reais) a antes de lançar o dado. Isso significa que, sempre que o jogo começa, o jogador já teve uma saída de ; portanto o lucro líquido será o prêmio recebido menos . - Primeiro lançamento: joga um dado (um dado justo com seis faces).
- Se sair face
: recebe . - Se sair faces
ou : não recebe nada (perde o que pagou). - Se sair faces
ou : tem direito a um segundo lance (desta vez lança dois dados).
- Se sair face
- Segundo lançamento (apenas se no primeiro saiu
ou ), com dois dados: - Se sair duas faces
: recebe . - Se sair exatamente uma face
: recebe de volta o dinheiro pago ( ). - Nos demais casos (nenhum
): não recebe nada (perde o que pagou).
- Se sair duas faces
O que precisamos explícito na resolução: transformar essas regras em possíveis valores de
(lucro líquido) e calcular as probabilidades correspondentes; depois aplicar as fórmulas de esperança e variância.
Passo 2
Determinar os possíveis valores de
(lucro líquido) a partir das regras. Lembrando:
(prêmio recebido)
.
- Se no primeiro lançamento sai
: prêmio , logo - Se no primeiro lançamento sai
ou : não recebe prêmio, logo - Se no primeiro lançamento sai
ou e no segundo (dois dados) saem duas faces : prêmio , logo - Se no primeiro lançamento sai
ou e no segundo sai exatamente uma face : recebe o de volta, logo - Se no primeiro lançamento sai
ou e no segundo não sai nenhum : não recebe prêmio, logo
Portanto os valores possíveis de
são
Passo 3
Calcular probabilidades elementares do primeiro lançamento (dado justo):
Passo 4
Calcular probabilidades do resultado no segundo lançamento (dois dados), condicionadas a ter chegado lá.
Para dois dados justos e independentes:
Para dois dados justos e independentes:
- Probabilidade de duas faces
: - Probabilidade de exatamente uma face
: escolher qual dado é (2 formas) e o outro não ser : - Probabilidade de nenhum
:
Esses valores somam
, conferindo.
Passo 5
Usar a regra da probabilidade total (multiplicar pela probabilidade de chegar ao segundo lançamento, que é
) para obter probabilidades finais de cada valor de
.
-
acontece só quando o primeiro lançamento é . Logo
-
acontece quando o primeiro foi ou e no segundo saem duas . Logo
-
acontece quando o primeiro foi ou e no segundo sai exatamente uma . Logo
-
acontece em dois casos disjuntos: (i) primeiro em ; (ii) primeiro em e no segundo nenhum . Assim
Colocando em denominador comum
:
Verificação rápida da soma das probabilidades (todas em
):
e
, portanto somam
. Tudo consistente.
Passo 6
Resumindo a distribuição de probabilidade de
(apresentação direta):
Passo 7
Calcular
. Fórmula da esperança para variável discreta:
Aplicando com os valores:
Usando denominador
para facilitar somas:
Em valor decimal:
Interpretação curta: em média o jogador
perde cerca de
(reais) por partida. Força: é um valor negativo, então o jogo é desfavorável ao jogador
em longo prazo.]
Passo 8
Calcular
. Lembrando a fórmula
Primeiro calcular
.
Calcular cada termo
:
Somando:
Já temos
, então
Agora calcular a diferença. Para subtrair, coloque em denominador comum
(que é
ou
):
Logo
Podemos simplificar dividindo por
:
Valor decimal aproximado:
Passo 9
Calcular
. Tomando a raiz:
Unidade: mesmas unidades de
(reais).
Resumo das interpretações rápidas: o jogo dá um pequeno prejuízo médio por partida ao jogador
(expectativa negativa), mas com grande variabilidade (desvio padrão alto), o que ocorre porque há pequenas probabilidades de prêmios altos.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)