Em uma fábrica ou um escritório, o tempo, no horário de trabalho, durante o qual uma máquina não está funcionando em virtude de quebra ou falha é chamado tempo parado. A tabela a seguir é uma amostra da duração desses tempos parados de certa máquina.
Tabela 9: o tempo, no horário de trabalho, durante o qual uma máquina não está funcionando em virtude de quebra ou falha
Tempo parado (minutos)
Frequência f
0 |---- 9
2
9 |--- 18
15
18 |---- 27
17
27 |---- 36
12
36 |---- 45
3
45 |---- 54
1
Total
50
Calcule:
O tempo mediano
| Tempo parado (minutos) | Frequência f |
| 0 |---- 9 | 2 |
| 9 |--- 18 | 15 |
| 18 |---- 27 | 17 |
| 27 |---- 36 | 12 |
| 36 |---- 45 | 3 |
| 45 |---- 54 | 1 |
| Total | 50 |
O tempo mediano
Passo 1
O que o problema pede: calcular o tempo mediano da amostra (a mediana dos tempos parados, em minutos).
Informações fornecidas (peguei os dados da tabela do enunciado):
- Classes e frequências:
-
: -
: -
: -
: -
: -
:
-
- Total da amostra:
.
Passo 2
O que é a mediana para dados agrupados e a fórmula que vamos usar.
- A mediana é o valor que divide a amostra ao meio: metade dos observações ficam abaixo e metade acima.
- Para dados agrupados em classes (intervalos), não conhecemos os valores individuais dentro da classe mediana, então usamos uma fórmula de interpolação linear dentro da classe que contém a posição
.
A fórmula clássica é:
Expliquei cada símbolo:
-
: limite inferior (início) da classe mediana (valor numérico da fronteira inferior). -
: total de observações. -
: frequência acumulada antes da classe mediana (soma das frequências das classes anteriores). -
: frequência da classe mediana (frequência da classe que contém a posição ). -
: amplitude (largura) da classe mediana (tamanho do intervalo de classe).
Intuição rápida: começamos eme acrescentamos a fração da classe necessária para alcançar a posição , supondo distribuição uniforme dentro da classe.
Passo 3
Calcular as frequências acumuladas (soma das frequências até cada classe), para identificar a classe mediana.
- Acumulada após 1ª classe:
. - Acumulada após 2ª classe:
. - Acumulada após 3ª classe:
. - Acumulada após 4ª classe:
. - Acumulada após 5ª classe:
. - Acumulada após 6ª classe:
.
Portanto as acumuladas são
.
Passo 4
Determinar a posição
e a classe mediana.
- Calculamos
: . - A classe que contém a posição 25 é a primeira cuja frequência acumulada é maior ou igual a 25.
- A acumulada após a 2ª classe é
. - A acumulada após a 3ª classe é
.
- A acumulada após a 2ª classe é
- Logo, a classe mediana é a 3ª classe:
.
Agora identificamos os parâmetros para a fórmula:
-
(limite inferior da classe mediana) . -
(acumulada antes desta classe) (acumulada até a 2ª classe). -
(frequência da classe ). -
(amplitude da classe) .
Passo 5
Aplicar a fórmula da mediana e fazer as contas passo a passo.
Primeiro o numerador da fração:
Agora a fração dentro da fórmula:
Multiplicando pela amplitude
:
Transformando em decimal (para facilitar a interpretação):
Finalmente:
Arredondando, por exemplo, para duas casas decimais: