Em uma fábrica ou um escritório, o tempo, no horário de trabalho, durante o qual uma máquina não está funcionando em virtude de quebra ou falha é chamado tempo parado. A tabela a seguir é uma amostra da duração desses tempos parados de certa máquina.
Tabela 9: o tempo, no horário de trabalho, durante o qual uma máquina não está funcionando em virtude de quebra ou falha
Tempo parado (minutos) Frequência f
0 |---- 9 2
9 |--- 18 15
18 |---- 27 17
27 |---- 36 12
36 |---- 45 3
45 |---- 54 1
Total 50
Calcule:
O tempo mediano

Passo 1

O que o problema pede: calcular o tempo mediano da amostra (a mediana dos tempos parados, em minutos).
Informações fornecidas (peguei os dados da tabela do enunciado):
  • Classes e frequências:
    • 0\mid\!-\!9: f_1=2
    • 9\mid\!-\!18: f_2=15
    • 18\mid\!-\!27: f_3=17
    • 27\mid\!-\!36: f_4=12
    • 36\mid\!-\!45: f_5=3
    • 45\mid\!-\!54: f_6=1
  • Total da amostra: N=50.

Passo 2

O que é a mediana para dados agrupados e a fórmula que vamos usar.
  • A mediana é o valor que divide a amostra ao meio: metade dos observações ficam abaixo e metade acima.
  • Para dados agrupados em classes (intervalos), não conhecemos os valores individuais dentro da classe mediana, então usamos uma fórmula de interpolação linear dentro da classe que contém a posição N/2.
A fórmula clássica é:
\text{Mediana} = L + \left(\dfrac{N/2 - F_{\text{ant}}}{f_{\text{med}}}\right)\cdot h.
Expliquei cada símbolo:
  • L: limite inferior (início) da classe mediana (valor numérico da fronteira inferior).
  • N: total de observações.
  • F_{\text{ant}}: frequência acumulada antes da classe mediana (soma das frequências das classes anteriores).
  • f_{\text{med}}: frequência da classe mediana (frequência da classe que contém a posição N/2).
  • h: amplitude (largura) da classe mediana (tamanho do intervalo de classe).
    Intuição rápida: começamos em L e acrescentamos a fração da classe necessária para alcançar a posição N/2, supondo distribuição uniforme dentro da classe.

Passo 3

Calcular as frequências acumuladas (soma das frequências até cada classe), para identificar a classe mediana.
  • Acumulada após 1ª classe: 2.
  • Acumulada após 2ª classe: 2+15=17.
  • Acumulada após 3ª classe: 17+17=34.
  • Acumulada após 4ª classe: 34+12=46.
  • Acumulada após 5ª classe: 46+3=49.
  • Acumulada após 6ª classe: 49+1=50.
Portanto as acumuladas são 2,\;17,\;34,\;46,\;49,\;50.

Passo 4

Determinar a posição N/2 e a classe mediana.
  • Calculamos N/2: \dfrac{N}{2}=\dfrac{50}{2}=25.
  • A classe que contém a posição 25 é a primeira cuja frequência acumulada é maior ou igual a 25.
    • A acumulada após a 2ª classe é 17<25.
    • A acumulada após a 3ª classe é 34\ge25.
  • Logo, a classe mediana é a 3ª classe: 18\mid\!-\!27.
Agora identificamos os parâmetros para a fórmula:
  • L (limite inferior da classe mediana) =18.
  • F_{\text{ant}} (acumulada antes desta classe) =17 (acumulada até a 2ª classe).
  • f_{\text{med}}=17 (frequência da classe 18\mid\!-\!27).
  • h (amplitude da classe) =27-18=9.

Passo 5

Aplicar a fórmula da mediana e fazer as contas passo a passo.
Primeiro o numerador da fração:
\dfrac{N}{2}-F_{\text{ant}} = 25 - 17 = 8.
Agora a fração dentro da fórmula:
\dfrac{N/2 - F_{\text{ant}}}{f_{\text{med}}} = \dfrac{8}{17}.
Multiplicando pela amplitude h=9:
\left(\dfrac{8}{17}\right)\cdot 9 = \dfrac{72}{17}.
Transformando em decimal (para facilitar a interpretação):
\dfrac{72}{17} \approx 4,2352941176\ldots
Finalmente:
\text{Mediana} = L + \dfrac{72}{17} = 18 + \dfrac{72}{17} \approx 18 + 4,235294\ldots \approx 22,235294\ldots
Arredondando, por exemplo, para duas casas decimais:
\text{Mediana} \approx 22,24\\ \text{minutos}.

Resposta

\;22,24\\ \text{minutos}

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